Question

а) Решите уравнение $2\log_9^2 x - 3\log_9 x + 1 = 0$.

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\sqrt{10}; \sqrt{99}]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить замену переменной для сведения логарифмического уравнения к квадратному, затем отобрать корни по условию.

**а) Решение уравнения**

Область определения: $x > 0$.

Введём замену $\log_9 x = t$:

$$2t^2 - 3t + 1 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = 9 - 8 = 1$$

Корни квадратного уравнения:

$$t = \frac{3 \pm 1}{4}$$

$$t_1 = 1, \quad t_2 = \frac{1}{2}$$

Вернёмся к исходной переменной.

При $\log_9 x = 1$:

$$x = 9$$

При $\log_9 x = \frac{1}{2}$:

$$x = 9^{1/2} = 3$$

**б) Отбор корней на отрезке**

Проверим принадлежность корней отрезку $[\sqrt{10}; \sqrt{99}]$.

Представим границы и корни через квадратные корни:

$$\sqrt{10} \approx 3{,}16, \quad \sqrt{81} = 9, \quad \sqrt{99} \approx 9{,}95$$

$$\sqrt{9} = 3$$

Сравним:
- $x_1 = 9 = \sqrt{81}$: поскольку $\sqrt{10} < \sqrt{81} < \sqrt{99}$, корень $x = 9$ принадлежит отрезку.
- $x_2 = 3 = \sqrt{9}$: поскольку $\sqrt{9} < \sqrt{10}$, корень $x = 3$ не принадлежит отрезку.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике