Question

Решите неравенство:

$$\frac{2^{3x} - 2 \cdot 4^{x+1} + 5 \cdot 2^{x+2} - 16}{x - 1} \geq 0$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: преобразовать числитель через замену $t = 2^x$, разложить на множители и применить метод интервалов с учётом ограничения на знаменатель.

Заметим, что $x 
eq 1$ (знаменатель не равен нулю).

Упростим числитель. Преобразуем степени:
- $4^{x+1} = 4 \cdot 4^x = 4 \cdot (2^2)^x = 4 \cdot 2^{2x}$
- $2^{x+2} = 4 \cdot 2^x$

Числитель принимает вид:

$$2^{3x} - 2 \cdot 4 \cdot 2^{2x} + 5 \cdot 4 \cdot 2^x - 16 = 2^{3x} - 8 \cdot 2^{2x} + 20 \cdot 2^x - 16$$

Введём замену $t = 2^x$ (где $t > 0$):

$$t^3 - 8t^2 + 20t - 16 \geq 0$$

Разложим многочлен на множители. Заметим, что $t = 2$ — корень:

$$2^3 - 8 \cdot 2^2 + 20 \cdot 2 - 16 = 8 - 32 + 40 - 16 = 0$$

Выполним группировку:

$$t^3 - 2t^2 - 6t^2 + 12t + 8t - 16 = t^2(t - 2) - 6t(t - 2) + 8(t - 2)$$

$$= (t - 2)(t^2 - 6t + 8)$$

Разложим квадратный трёхчлен:

$$t^2 - 6t + 8 = (t - 2)(t - 4)$$

Получаем:

$$(t - 2)^2(t - 4) \geq 0$$

Вернёмся к переменной $x$:

$$(2^x - 2)^2(2^x - 4) \geq 0$$

Найдём нули:
- $2^x - 2 = 0 \Rightarrow 2^x = 2 \Rightarrow x = 1$
- $2^x - 4 = 0 \Rightarrow 2^x = 4 \Rightarrow x = 2$

Анализируем знаки на числовой оси. Множитель $(2^x - 2)^2$ всегда неотрицателен. Множитель $(2^x - 4)$ отрицателен при $x < 2$ и положителен при $x > 2$.

Неравенство $(2^x - 2)^2(2^x - 4) \geq 0$ выполняется при $x \in (-\infty; 1] \cup [2; +\infty)$.

С учётом ограничения $x 
eq 1$:

$$x \in (-\infty; 1) \cup [2; +\infty)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике