Question

Решите неравенство:

$$\frac{2\cdot 3^{x}}{3^{x}-9}+\frac{3^{x}+9}{3^{x}-3}+\frac{84}{9^{x}-12\cdot 3^{x}+27}\leq 0$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: введём замену $t = 3^x$, приведём дроби к общему знаменателю и разложим числитель на множители.

Обозначим $t = 3^x$, где $t > 0$. Заметим, что $9^x = t^2$ и $t^2 - 12t + 27 = (t-3)(t-9)$.

Неравенство принимает вид:

$$\frac{2t}{t-9}+\frac{t+9}{t-3}+\frac{84}{(t-3)(t-9)}\leq 0$$

Приведём к общему знаменателю $(t-3)(t-9)$:

$$\frac{2t(t-3)+(t+9)(t-9)+84}{(t-3)(t-9)}\leq 0$$

Раскроем скобки в числителе:

$$2t(t-3) = 2t^2 - 6t$$

$$(t+9)(t-9) = t^2 - 81$$

Сумма в числителе:

$$2t^2 - 6t + t^2 - 81 + 84 = 3t^2 - 6t + 3 = 3(t^2 - 2t + 1) = 3(t-1)^2$$

Получаем:

$$\frac{3(t-1)^2}{(t-3)(t-9)}\leq 0$$

Или эквивалентно:

$$\frac{(t-1)^2}{(t-3)(t-9)}\leq 0$$

Числитель $(t-1)^2 \geq 0$ при всех $t$. Дробь неположительна, когда знаменатель отрицателен и числитель равен нулю, или когда знаменатель отрицателен.

Знаменатель $(t-3)(t-9) < 0$ при $3 < t < 9$.

Числитель равен нулю при $t = 1$.

Таким образом, решение в переменной $t$: $t = 1$ или $3 < t < 9$.

Вернёмся к переменной $x$:

При $t = 1$: $3^x = 1 \Rightarrow x = 0$.

При $3 < t < 9$: $3 < 3^x < 9 \Rightarrow 3^1 < 3^x < 3^2 \Rightarrow 1 < x < 2$.

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике