Question

По бизнес-плану четырёхлетний проект начинается с вложения 25 млн рублей. Ежегодно объём инвестиций увеличивается на 20% от суммы на начало года, и начисленные проценты остаются в проекте. После каждого начисления требуются дополнительные вложения: $n$ млн рублей (целое число) в первый и второй годы, а также $m$ млн рублей (целое число) в третий и четвёртый годы.

Найдите наименьшее значение $n$, при котором первоначальные вложения за два года увеличатся как минимум в два раза, и наименьшее значение $m$, такое, что при найденном $n$ первоначальные вложения за четыре года возрастут как минимум в четыре раза.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: последовательно вычислить объём средств в начале каждого года, применяя условие 20%-ного прироста и дополнительные вложения, затем найти минимальные целые значения $n$ и $m$ из условий удвоения и учетверения.

**Нахождение $n$:**

К началу второго года накопится:
$$1{,}2 \cdot 25 + n = 30 + n$$ млн рублей

К началу третьего года:
$$1{,}2(30 + n) + n = 36 + 2{,}2n$$ млн рублей

По условию первоначальные вложения должны удвоиться за два года:
$$36 + 2{,}2n \geq 50$$

$$2{,}2n \geq 14$$

$$n \geq 6{,}36$$

Наименьшее целое значение: $n = 7$.

При $n = 7$ к началу третьего года имеем:
$$36 + 2{,}2 \cdot 7 = 36 + 15{,}4 = 51{,}4$$ млн рублей

**Нахождение $m$:**

К началу четвёртого года:
$$1{,}2 \cdot 51{,}4 + m = 61{,}68 + m$$ млн рублей

В конце проекта (после четвёртого года):
$$1{,}2(61{,}68 + m) + m = 74{,}016 + 2{,}2m$$ млн рублей

По условию первоначальные вложения должны возрасти в четыре раза:
$$74{,}016 + 2{,}2m \geq 100$$

$$2{,}2m \geq 25{,}984$$

$$m \geq 11{,}81$$

Наименьшее целое значение: $m = 12$.

Задание №16Финансовая математика и оптимизацияЕГЭ по математике