Question

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Диагонали $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $M$. Известно, что $BCDM$ — параллелограмм.

а) Докажите, что $BC = DE$.

б) Найдите длину стороны $AB$, если известно, что $DE = 4$, $AD = 7$, $BE = 8$ и $AB > BC$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: используя свойства параллелограмма и вписанного четырёхугольника, установим равенство хорд через равнобедренность треугольника, а затем применим теорему о пересекающихся хордах.

**а) Доказательство равенства $BC = DE$**

Обозначим $\angle CBM = \alpha$.

Поскольку $BCDM$ — параллелограмм, противоположные углы равны:
$$\angle BCD = 180° - \alpha$$

Четырёхугольник $BCDE$ вписан в окружность, поэтому сумма противоположных углов равна $180°$:
$$\angle BCD + \angle BED = 180°$$

Отсюда:
$$\angle BED = 180° - \angle BCD = 180° - (180° - \alpha) = \alpha$$

В параллелограмме $BCDM$ стороны $BC$ и $DM$ параллельны. При пересечении параллельных прямых секущей $BE$ образуются равные соответственные углы:
$$\angle DME = \angle CBM = \alpha$$

В треугольнике $MDE$ два угла равны:
$$\angle DME = \angle DEM = \alpha$$

Следовательно, треугольник $MDE$ равнобедренный, и $DM = DE$.

Так как в параллелограмме $BCDM$ противоположные стороны равны, $BC = DM$.

Таким образом, $BC = DE$. ∎

**б) Нахождение длины $AB$**

Из параллелограмма $BCDM$ имеем $BC \parallel DM$, откуда $BC \parallel AD$.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность и имеет параллельные стороны $BC$ и $AD$, поэтому он является равнобедренной трапецией. Следовательно:
$$AB = CD$$

Обозначим $CD = x$. Тогда $BM = x$ (противоположные стороны параллелограмма).

Из пункта а) известно, что $BC = DE = 4$, и в параллелограмме $DM = BC = 4$.

Так как $BE = 8$ и $BM = x$:
$$ME = 8 - x$$

Из условия $AD = 7$ и $DM = 4$:
$$AM = AD - DM = 7 - 4 = 3$$

По теореме о пересекающихся хордах $AD$ и $BE$:
$$BM \cdot ME = AM \cdot DM$$

$$x(8 - x) = 3 \cdot 4$$

$$8x - x^2 = 12$$

$$x^2 - 8x + 12 = 0$$

По теореме Виета корни: $x = 6$ и $x = 2$.

При $x = 2$ получаем $AB = CD = 2 = BC$, что противоречит условию $AB > BC$.

При $x = 6$ получаем $AB = CD = 6 > BC = 4$, что удовлетворяет условию.

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике