Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение 
$$\sqrt{2-3x}\cdot\ln\left( 16x^{2}-a^{2} \right)=\sqrt{2-3x}\cdot\ln\left( 4x+a \right)$$
имеет ровно один корень.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: перенести всё в одну часть, вынести общий множитель и разобрать случаи, когда корень равен нулю или когда логарифмы равны.

Запишем область допустимых значений:
$$\begin{cases}
2-3x\geq 0 \
4x+a > 0 \
16x^{2}-a^{2} > 0
\end{cases}$$

Перенесём всё в левую часть:
$$\sqrt{2-3x}\cdot\ln\left( 16x^{2}-a^{2} ight)-\sqrt{2-3x}\cdot\ln\left( 4x+a ight)=0$$

Вынесем общий множитель:
$$\sqrt{2-3x}\cdot\left( \ln\left( (4x-a)(4x+a) ight)-\ln\left( 4x+a ight)ight)=0$$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

**Случай 1:** $\sqrt{2-3x}=0$

$$2-3x=0 \implies x_{1}=\frac{2}{3}$$

**Случай 2:** $\ln\left( (4x-a)(4x+a) ight)=\ln\left( 4x+a ight)$

$$(4x-a)(4x+a)=4x+a$$

$$(4x+a)(4x-a-1)=0$$

Отсюда $x_{2}=-\frac{a}{4}$ или $x_{3}=\frac{a+1}{4}$.

Проверим, при каких $a$ каждый корень входит в ОДЗ.

**Для $x_{1}=\frac{2}{3}$:**

$$\begin{cases}
2-3\cdot\frac{2}{3}\geq 0 \
4\cdot\frac{2}{3}+a > 0 \
16\cdot\frac{4}{9}-a^{2} > 0
\end{cases} \implies \begin{cases}
0 \geq 0 \
a > -\frac{8}{3} \
a^{2} < \frac{64}{9}
\end{cases}$$

Получаем $a \in \left(-\frac{8}{3}; \frac{8}{3}ight)$.

**Для $x_{2}=-\frac{a}{4}$:**

$$\begin{cases}
2+\frac{3a}{4}\geq 0 \
-a+a > 0 \
a^{2}-a^{2} > 0
\end{cases}$$

Второе условие даёт $0 > 0$, что невозможно. Значит, $x_{2}$ никогда не является корнем.

**Для $x_{3}=\frac{a+1}{4}$:**

$$\begin{cases}
2-\frac{3(a+1)}{4}\geq 0 \
a+1+a > 0 \
(a+1)^{2}-a^{2} > 0
\end{cases} \implies \begin{cases}
8-3a-3 \geq 0 \
2a+1 > 0 \
2a+1 > 0
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
a \leq \frac{5}{3} \
a > -\frac{1}{2}
\end{cases}$$

Получаем $a \in \left(-\frac{1}{2}; \frac{5}{3}ight]$.

Проверим совпадение корней. Если $x_{1}=x_{3}$:

$$\frac{2}{3}=\frac{a+1}{4} \implies 8=3a+3 \implies a=\frac{5}{3}$$

При $a=\frac{5}{3}$ оба корня совпадают, поэтому остаётся только один корень.

Для ровно одного корня нужно:
- либо $a \in \left(-\frac{8}{3}; \frac{8}{3}ight)$ и $a 
otin \left(-\frac{1}{2}; \frac{5}{3}ight]$, то есть $a \in \left(-\frac{8}{3}; -\frac{1}{2}ight]$;
- либо $a=\frac{5}{3}$ (совпадение корней).

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике