Question

Найдите точку максимума функции $y=\ln(x+10)-5x+7$.

Accepted Answer

-9,8

Answer

Идея решения: найти критическую точку через производную и проверить её характер по знакам производной. Вычислим производную: $$y' = \frac{1}{x+10} - 5$$ Приравняем производную к нулю: $$\frac{1}{x+10} - 5 = 0$$ $$\frac{1}{x+10} = 5$$ $$x + 10 = 0{,}2$$ $$x = -9{,}8$$ Проверим знак производной слева и справа от критической точки. При $x < -9{,}8$ имеем $x + 10 < 0{,}2$, поэтому $\frac{1}{x+10} > 5$ и $y' > 0$. При $x > -9{,}8$ имеем $x + 10 > 0{,}2$, поэтому $\frac{1}{x+10} < 5$ и $y' < 0$. Производная меняет знак с положительного на отрицательный, следовательно, $x = -9{,}8$ — точка максимума.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике