Question

Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точки $M$ и $K$ — середины его рёбер $AB$ и $BC$ соответственно. Плоскость $\alpha$ проходит через точку $B$ параллельно прямым $A_1M$ и $B_1K$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через точку $D$.

б) Найдите площадь сечения куба плоскостью $\alpha$, если его рёбра равны 3.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: построить плоскость через две прямые, параллельные заданным направлениям, и показать, что она содержит диагональ основания куба.

**а) Доказательство**

Через точку $B$ проведём прямую $BL$ параллельно $A_1M$, где $L$ — середина $A_1B_1$. Через точку $L$ проведём прямую, параллельную $B_1K$, которая пересекает нижнее основание в точке $O$ (центр квадрата $ABCD$).

Плоскость $\alpha$ содержит обе эти прямые. Поскольку $O$ лежит на диагонали $BD$ основания, а $B$ уже принадлежит плоскости, вся диагональ $BD$ содержится в $\alpha$. Следовательно, точка $D$ принадлежит плоскости $\alpha$.

**б) Нахождение площади сечения**

Через точку $L$ проведём прямую $LN$ параллельно $BD$, где $N$ — середина $A_1D_1$. Соединив $N$ с $D$, получаем четырёхугольник $LNDB$ — искомое сечение.

Четырёхугольник $LNDB$ является равнобедренной трапецией, так как треугольники $LB_1B$ и $ND_1D$ равны по двум катетам.

Найдём боковые стороны. В прямоугольном треугольнике $LB_1B$:

$$LB_1 = \frac{A_1B_1}{2} = \frac{3}{2}, \quad BB_1 = 3$$

По теореме Пифагора:

$$LB^2 = LB_1^2 + BB_1^2 = \frac{9}{4} + 9 = \frac{45}{4}$$

$$LB = \frac{3\sqrt{5}}{2} = ND$$

Найдём основания трапеции. В треугольнике $ABD$:

$$AB = AD = 3, \quad BD^2 = 9 + 9 = 18, \quad BD = 3\sqrt{2}$$

Поскольку $L$ и $N$ — середины $A_1B_1$ и $A_1D_1$ соответственно, отрезок $LN$ — средняя линия треугольника $A_1B_1D_1$:

$$LN = \frac{1}{2}B_1D_1 = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$

Найдём высоту трапеции. Опустим перпендикуляры из $L$ и $N$ на $BD$, обозначив их основания как $L_1$ и $N_1$. Тогда:

$$BL_1 = N_1D = \frac{BD - LN}{2} = \frac{3\sqrt{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$$

В прямоугольном треугольнике $BLL_1$:

$$LL_1^2 = LB^2 - BL_1^2 = \frac{45}{4} - \frac{9 \cdot 2}{16} = \frac{180 - 18}{16} = \frac{162}{16}$$

$$LL_1 = \frac{9\sqrt{2}}{4}$$

Площадь трапеции:

$$S_{LNDB} = \frac{LN + BD}{2} \cdot LL_1 = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2} + 3\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{9\sqrt{2}}{4} = \frac{\frac{9\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{9\sqrt{2}}{4} = \frac{9\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{9\sqrt{2}}{4} = \frac{81 \cdot 2}{16} = \frac{162}{16} = 10{,}125$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/GP9r6Ib3ZDLpvQ74kcAOXoCitf9FOlUpqboqxhSC.png)

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/8tBxSxrna33aK0BV407T0bJspGgsAnQiYxZhh2TI.png)

Задание №14СтереометрияЕГЭ по математике