Question

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$$\sqrt{15x^{2}+6ax+9}=x^{2}+ax+3$$
имеет ровно три различных решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: преобразовать подкоренное выражение, возвести обе части в квадрат, свести к совокупности двух квадратных уравнений и найти условия на параметр, при которых получается ровно три корня с учётом ограничений. **Шаг 1. Область допустимых значений** Для существования решений необходимо: $$x^{2}+ax+3 \geq 0$$ При возведении в квадрат это условие гарантирует неотрицательность подкоренного выражения. **Шаг 2. Преобразование подкоренного выражения** Представим подкоренное выражение в удобном виде: $$\sqrt{15x^{2}+6ax+9}=\sqrt{6x^{2}+6ax+18+9x^{2}-9}=\sqrt{6(x^{2}+ax+3)+9(x^{2}-1)}$$ **Шаг 3. Возведение в квадрат** Возведём обе части исходного уравнения в квадрат: $$6(x^{2}+ax+3)+9(x^{2}-1)=(x^{2}+ax+3)^{2}$$ Перенесём всё в одну сторону: $$(x^{2}+ax+3)^{2}-6(x^{2}+ax+3)-9(x^{2}-1)=0$$ **Шаг 4. Применение формулы разности квадратов** Заметим, что левая часть раскладывается как произведение: $$(x^{2}+ax+3-3)(x^{2}+ax+3+3)-9(x^{2}-1)=0$$ $$(x^{2}+ax)(x^{2}+ax+6)-9x^{2}+9=0$$ Раскроем и упростим: $$(x^{2}+ax)^{2}+6(x^{2}+ax)-9x^{2}+9=0$$ $$(x^{2}+ax)^{2}-9x^{2}+6(x^{2}+ax)+9=0$$ $$(x^{2}+ax)^{2}-9(x^{2}-1)+6(x^{2}+ax)=0$$ Переписав через разность квадратов: $$(x^{2}+ax-3x)(x^{2}+ax+3x)=0$$ $$x(x-a+3) \cdot x(x-a-3)=0$$ Получаем совокупность: $$\left[\begin{array}{l}x=0 \ x^{2}=(-a+3)x \ x^{2}=(-a-3)x\end{array} ight.$$ или эквивалентно: $$\left[\begin{array}{l}x=0 \ x=0 ext{ или } x=-a+3 \ x=0 ext{ или } x=-a-3\end{array} ight.$$ Таким образом, потенциальные корни: $x=0$, $x=-a+3$, $x=-a-3$. **Шаг 5. Геометрическая интерпретация** Решение сводится к пересечению параболы $y=x^{2}$ с двумя прямыми $y=(-a+3)x$ и $y=(-a-3)x$, проходящими через начало координат. Поскольку $-a+3 > -a-3$ при любом $a$, первая прямая всегда выше второй. Три качественно различных случая: - Обе прямые убывают: $-a+3<0$ и $-a-3<0$, то есть $a>3$ - Обе прямые возрастают: $-a+3>0$ и $-a-3>0$, то есть $a<-3$ - Одна возрастает, другая убывает: $-a+3>0$ и $-a-3<0$, то есть $-3

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике