Question

Найдите точку максимума функции $y = 17 + 27x - 2x^{\frac{3}{2}}$.

Accepted Answer

81

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную и определить характер экстремума методом интервалов. Вычислим производную: $$y' = 27 - 2 \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$$ $$y' = 27 - 3\sqrt{x}$$ Приравняем производную к нулю: $$27 - 3\sqrt{x} = 0$$ $$3(9 - \sqrt{x}) = 0$$ $$\sqrt{x} = 9$$ $$x = 81$$ Исследуем знак производной на интервалах. При $0 < x < 81$ имеем $\sqrt{x} < 9$, поэтому $y' > 0$. При $x > 81$ имеем $\sqrt{x} > 9$, поэтому $y' < 0$. Производная меняет знак с положительного на отрицательный, следовательно, $x = 81$ — точка максимума.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике