Question

В прямоугольном треугольнике острые углы составляют 84° и 6°. Требуется найти угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ выразите в градусах.

Прямоугольный треугольник ABC с высотой и медианой из вершины C

![Прямоугольный треугольник ABC с высотой и медианой из вершины C](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/C2yHyHigjZGdfSoXLelxPXOcwEGEyTebR83J5Y5b.jpg)

Accepted Answer

78

Answer

Идея решения: найти углы, которые высота и медиана образуют с катетами прямого угла, а затем вычислить угол между ними.

Обозначим прямой угол вершиной $C$, острые углы — вершинами $A$ и $B$, где $\angle A = 84°$, $\angle B = 6°$.

**Шаг 1. Угол между высотой и меньшим катетом.**

Рассмотрим треугольник, образованный высотой из $C$ на гипотенузу $AB$, катетом $BC$ и частью гипотенузы. Этот треугольник подобен исходному треугольнику $ABC$ по двум углам. Следовательно, угол между высотой и катетом $BC$ равен $6°$.

**Шаг 2. Угол между медианой и большим катетом.**

Медиана из прямого угла к гипотенузе имеет длину, равную половине гипотенузы. Это означает, что треугольник, образованный медианой, катетом $AC$ и половиной гипотенузы, является равнобедренным. Поэтому угол между медианой и катетом $AC$ также равен $6°$.

**Шаг 3. Вычисление угла между высотой и медианой.**

Угол между высотой и медианой составляет:

$$90° - 6° - 6° = 78°$$

Задание №1ПланиметрияЕГЭ по математике