Question

При каких значениях параметра $a$ уравнение имеет ровно 2 различных решения?

$$\frac{x^{2}-2x+a^{2}-4a}{x^{2}-a}=0$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель ненулевой; геометрически это означает поиск пересечений окружности и параболы с исключением точек на параболе.

Дробь обращается в нуль при условии:

$$\begin{cases}
x^{2}-2x+a^{2}-4a = 0 \
x^{2}-a 
eq 0
\end{cases}$$

Преобразуем числитель, выделив полные квадраты:

$$x^{2}-2x+1+a^{2}-4a+4 = 5$$

$$(x-1)^{2}+(a-2)^{2} = 5$$

Это окружность с центром $(1; 2)$ и радиусом $\sqrt{5}$.

Условие $x^{2}-a 
eq 0$ означает $a 
eq x^{2}$, что геометрически задаёт параболу $a = x^{2}$ в плоскости $(x, a)$.

Найдём точки пересечения окружности и параболы, подставив $a = x^{2}$ в уравнение окружности:

$$(x-1)^{2}+(x^{2}-2)^{2} = 5$$

$$x^{2}-2x+1+x^{4}-4x^{2}+4 = 5$$

$$x^{4}-3x^{2}-2x = 0$$

$$x(x^{3}-3x-2) = 0$$

Либо $x = 0$, либо $x^{3}-3x-2 = 0$.

Для кубического уравнения заметим, что $x = -1$ — корень:

$$(-1)^{3}-3(-1)-2 = -1+3-2 = 0$$

Разложим:

$$x^{3}-3x-2 = (x+1)(x^{2}-x-2) = (x+1)(x-2)(x+1) = (x+1)^{2}(x-2)$$

Таким образом:

$$x(x+1)^{2}(x-2) = 0$$

Корни: $x = 0$, $x = -1$, $x = 2$.

Соответствующие значения параметра:
- при $x = 0$: $a = 0$;
- при $x = -1$: $a = 1$;
- при $x = 2$: $a = 4$.

Проверим количество решений для каждого значения $a$:

**При $a = 0$:** окружность $(x-1)^{2}+(a-2)^{2} = 5$ пересекает параболу $a = x^{2}$ в точке $(0, 0)$. Это единственное пересечение, дающее одно решение.

**При $a = 1$:** окружность пересекает параболу в точке $(-1, 1)$. Это единственное пересечение, дающее одно решение.

**При $a = 4$:** окружность пересекает параболу в точке $(2, 4)$. Это единственное пересечение, дающее одно решение.

Для получения ровно двух решений окружность должна пересекать параболу в двух точках, не совпадающих с точками касания. Анализ графиков показывает, что это происходит при:

$$a \in (2-\sqrt{5}; 0) \cup (0; 1) \cup (1; 4) \cup (4; 2+\sqrt{5})$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/ZzIE0astEJmN8Cy2GtIfuyA0US1HRDOhcv7QYWxh.jpg)

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/Sscwk8O3vxB81kOXPqzRFsyOpacGHgxyp3SzQxVZ.png)

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике