Question

а) Решите уравнение $2\cos^{2}x+3\sin\left( x+\pi \right)-3=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ 2\pi;\frac{7\pi}{2} \right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить формулу приведения для синуса, свести уравнение к квадратному относительно $\sin x$ и найти все решения.

**а) Решение уравнения**

Используем формулу приведения: $\sin(x+\pi) = -\sin x$.

$$2\cos^{2}x - 3\sin x - 3 = 0$$

Заменим $\cos^{2}x = 1 - \sin^{2}x$:

$$2(1 - \sin^{2}x) - 3\sin x - 3 = 0$$

$$2 - 2\sin^{2}x - 3\sin x - 3 = 0$$

$$-2\sin^{2}x - 3\sin x - 1 = 0$$

Умножим на $-1$:

$$2\sin^{2}x + 3\sin x + 1 = 0$$

Обозначим $t = \sin x$, где $-1 \leq t \leq 1$:

$$2t^{2} + 3t + 1 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$t = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} = \frac{-3 \pm 1}{4}$$

Получаем $t = -\frac{1}{2}$ или $t = -1$.

**Случай 1:** $\sin x = -1$

$$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

**Случай 2:** $\sin x = -\frac{1}{2}$

$$x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

$$x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на отрезке $\left[ 2\pi;\frac{7\pi}{2} \right]$**

Проверим каждое семейство решений.

Для $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$:
- При $n = 1$: $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi = \frac{7\pi}{2}$ ✓ (принадлежит отрезку)

Для $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$:
- При $n = 0$: $x = \frac{7\pi}{6} < 2\pi$ ✗
- При $n = 1$: $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{19\pi}{6}$ ✓ (принадлежит отрезку)

Для $x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$:
- При $n = 0$: $x = \frac{11\pi}{6} < 2\pi$ ✗
- При $n = 1$: $x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi = \frac{23\pi}{6} > \frac{7\pi}{2}$ ✗

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/VNtmxMe5GD4SjSXNtMUywJC6Yo4IAq7iW3ahDtyc.jpg)

Задание №13УравненияЕГЭ по математике