Question

Пусть $ABCDE$ — вписанный в окружность пятиугольник, прямые $BE$ и $AD$ пересекаются в точке $M$, и четырёхугольник $BCDM$ является параллелограммом. Докажите, что две стороны пятиугольника равны.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: использовать свойства параллелограмма и вписанного пятиугольника, чтобы связать углы и дуги окружности.

Из условия параллелограмма $BCDM$ имеем:
$$BC = DM, \quad CD = BM, \quad BC \parallel DM, \quad CD \parallel BM$$

Обозначим $\angle CBD = \alpha$. Поскольку $BC \parallel DM$, углы $\angle CBD$ и $\angle BDM$ — накрест лежащие при секущей $BD$, следовательно:
$$\angle BDM = \alpha$$

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Угол $\angle CBD$ опирается на дугу $CD$:
$$\overset{\frown}{CD} = 2\alpha$$

Угол $\angle CAD$ опирается на ту же дугу $CD$, но он же равен $\angle CBD$ (так как оба опираются на одну дугу). Однако заметим, что угол $\angle ABD$ опирается на дугу $AD$.

Из условия параллелограмма и свойств вписанного четырёхугольника получаем, что угол $\angle AEB$ опирается на дугу $AB$ и равен $\angle ADB$ (как углы, опирающиеся на равные дуги). Это даёт нам:
$$\overset{\frown}{AB} = 2\alpha$$

Поскольку хорды вписанного многоугольника, стягивающие равные дуги, имеют равную длину:
$$AB = CD$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/uTJ638Qbj7XT0bpxTCJzJKYes868yr0vVj7TZxJ6.jpg)

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике