Question

Решите неравенство:

$$\frac{x^3 - x^2 - x + 1}{4^{x^2} - 16 \cdot 2^{x^2} + 64} \leq 0$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: разложить числитель на множители, упростить знаменатель через замену, найти нули и точки разрыва, затем применить метод интервалов с учётом ограничений. **Шаг 1. Найдём область определения.** Знаменатель не должен обращаться в нуль: $$4^{x^2} - 16 \cdot 2^{x^2} + 64 eq 0$$ Обозначим $t = 2^{x^2}$, тогда $4^{x^2} = t^2$: $$t^2 - 16t + 64 eq 0$$ $$(t - 8)^2 eq 0$$ $$t eq 8$$ $$2^{x^2} eq 8$$ $$x^2 eq 3$$ $$x eq \pm\sqrt{3}$$ **Шаг 2. Упростим знаменатель.** Заметим, что знаменатель всегда положителен (это полный квадрат): $$4^{x^2} - 16 \cdot 2^{x^2} + 64 = (2^{x^2} - 8)^2 > 0$$ при $x eq \pm\sqrt{3}$. **Шаг 3. Решим неравенство для числителя.** Поскольку знаменатель положителен, исходное неравенство равносильно: $$x^3 - x^2 - x + 1 \leq 0$$ Разложим числитель: $$x^2(x - 1) - (x - 1) \leq 0$$ $$(x - 1)(x^2 - 1) \leq 0$$ $$(x - 1)(x - 1)(x + 1) \leq 0$$ $$(x - 1)^2(x + 1) \leq 0$$ **Шаг 4. Применим метод интервалов.** Нули: $x = -1$ (кратность 1) и $x = 1$ (кратность 2). Анализируя знаки на интервалах: - При $x < -1$: $(x - 1)^2 > 0$, $(x + 1) < 0$ → произведение отрицательно ✓ - При $-1 < x < 1$: $(x - 1)^2 > 0$, $(x + 1) > 0$ → произведение положительно ✗ - При $x > 1$: $(x - 1)^2 \geq 0$, $(x + 1) > 0$ → произведение неотрицательно, равно нулю при $x = 1$ ✓ Решение неравенства: $x \in (-\infty, -1] \cup \{1\}$. **Шаг 5. Учтём ограничения.** Исключаем $x = \pm\sqrt{3}$ из области определения. Поскольку $\sqrt{3} \approx 1{,}73 > 1$, точка $x = \sqrt{3}$ не входит в найденное решение. Точка $x = -\sqrt{3} \approx -1{,}73 < -1$ входит в интервал $(-\infty, -1]$, поэтому её нужно исключить. Финальный ответ: $$x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}, -1] \cup \{1\}$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике