Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} x+y=a \ \left| y ight|=\left| x^{2}-2x ight| \end{array} ight.$$

имеет ровно два различных решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: раскрыть модули, свести к двум случаям пересечения прямой с кривыми, найти значения параметра, при которых получается ровно два решения.

Из первого уравнения выражаем $y$:

$$y = -x + a$$

Второе уравнение раскроем через произведение:

$$y^{2} = (x^{2}-2x)^{2}$$

$$(y - x^{2} + 2x)(y + x^{2} - 2x) = 0$$

Получаем два случая:

$$y = x^{2} - 2x \quad 	ext{или} \quad y = -x^{2} + 2x$$

**Случай 1:** $y = x^{2} - 2x$

Парабола имеет вершину в точке $x_{0} = 1$, $y_{0} = -1$.

Нули: $x^{2} - 2x = 0 \Rightarrow x = 0$ или $x = 2$.

Подставляем в первое уравнение:

$$-x + a = x^{2} - 2x$$

$$x^{2} - x - a = 0$$

Для ровно одного решения дискриминант должен быть нулевым:

$$D = 1 + 4a = 0 \Rightarrow a = -\frac{1}{4}$$

**Случай 2:** $y = -x^{2} + 2x$

Парабола имеет вершину в точке $x_{1} = 1$, $y_{1} = 1$.

Нули: $-x^{2} + 2x = 0 \Rightarrow x = 0$ или $x = 2$.

Подставляем в первое уравнение:

$$-x + a = -x^{2} + 2x$$

$$-x^{2} + 3x - a = 0$$

Для ровно одного решения:

$$D = 9 - 4a = 0 \Rightarrow a = \frac{9}{4}$$

При $a = -\frac{1}{4}$ прямая касается первой параболы в одной точке и пересекает вторую в двух точках, дав всего два решения.

При $a = \frac{9}{4}$ прямая касается второй параболы в одной точке и пересекает первую в двух точках, дав всего два решения.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике