Question

Решите неравенство:

$$\frac{\log_2(4x^2) + 35}{\log_2^2 x - 36} \geq -1$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: приведём неравенство к одной дроби, выполним замену переменной и решим методом интервалов. Область определения: $x > 0$. Разложим логарифм в числителе: $$\frac{\log_2 4 + \log_2 x^2 + 35}{\log_2^2 x - 36} \geq -1$$ $$\frac{2 + 2\log_2 x + 35}{\log_2^2 x - 36} \geq -1$$ $$\frac{2\log_2 x + 37}{\log_2^2 x - 36} \geq -1$$ Обозначим $t = \log_2 x$: $$\frac{2t + 37}{t^2 - 36} \geq -1$$ Перенесём $-1$ в левую часть: $$\frac{2t + 37}{t^2 - 36} + 1 \geq 0$$ Приведём к общему знаменателю: $$\frac{2t + 37 + t^2 - 36}{t^2 - 36} \geq 0$$ $$\frac{t^2 + 2t + 1}{t^2 - 36} \geq 0$$ Разложим числитель и знаменатель: $$\frac{(t + 1)^2}{(t - 6)(t + 6)} \geq 0$$ Найдём нули и точки разрыва: $t = -1$ (нуль кратности 2), $t = -6$ и $t = 6$ (точки разрыва). По методу интервалов (см. диаграмму): $$t \in (-\infty; -6) \cup \{-1\} \cup (6; +\infty)$$ Вернёмся к переменной $x$: **Случай 1:** $t < -6$, то есть $\log_2 x < -6$ $$x < 2^{-6} = \frac{1}{64}$$ С учётом $x > 0$: $x \in (0; \frac{1}{64})$. **Случай 2:** $t = -1$, то есть $\log_2 x = -1$ $$x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$$ **Случай 3:** $t > 6$, то есть $\log_2 x > 6$ $$x > 2^6 = 64$$ Объединяя все случаи: $$x \in \left(0; \frac{1}{64}\right) \cup \left\{\frac{1}{2}\right\} \cup (64; +\infty)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике