Question

Теплоход преодолевает расстояние 567 км до пункта назначения, двигаясь по течению реки. После остановки на 6 часов судно возвращается в исходный пункт против течения. Определите собственную скорость теплохода, если скорость течения составляет 3 км/ч, а общее время в пути (включая стоянку) равно 54 часам. Ответ выразите в км/ч.

Accepted Answer

24

Answer

Идея решения: составить уравнение на основе соотношения между временем движения по течению, против течения и общим временем.

Обозначим собственную скорость теплохода через $x$ км/ч. Тогда:
- скорость по течению: $x + 3$ км/ч;
- скорость против течения: $x - 3$ км/ч.

Время в пути по течению:

$$t_1 = \frac{567}{x+3}$$

Время в пути против течения:

$$t_2 = \frac{567}{x-3}$$

Общее время складывается из времени движения и времени стоянки:

$$\frac{567}{x+3} + \frac{567}{x-3} + 6 = 54$$

Упростим:

$$\frac{567}{x+3} + \frac{567}{x-3} = 48$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{567(x-3) + 567(x+3)}{(x+3)(x-3)} = 48$$

$$\frac{567x - 1701 + 567x + 1701}{x^2 - 9} = 48$$

$$\frac{1134x}{x^2 - 9} = 48$$

$$1134x = 48(x^2 - 9)$$

$$1134x = 48x^2 - 432$$

$$48x^2 - 1134x - 432 = 0$$

Разделим на 6:

$$8x^2 - 189x - 72 = 0$$

По формуле корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{189 \pm \sqrt{189^2 + 4 \cdot 8 \cdot 72}}{2 \cdot 8} = \frac{189 \pm \sqrt{35721 + 2304}}{16} = \frac{189 \pm \sqrt{38025}}{16} = \frac{189 \pm 195}{16}$$

Получаем два корня:

$$x_1 = \frac{189 + 195}{16} = \frac{384}{16} = 24$$

$$x_2 = \frac{189 - 195}{16} = \frac{-6}{16} = -\frac{3}{8}$$

Так как скорость должна быть положительной, $x = 24$ км/ч.

Задание №10Текстовые и прикладные задачиЕГЭ по математике