Question

В пирамиде $ABCD$ рёбра $DA$, $DB$ и $DC$ попарно перпендикулярны, а $AB = BC = AC = 6\sqrt{2}$.

а) Докажите, что эта пирамида правильная.

б) На рёбрах $DA$ и $DC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $DM : MA = DN : NC = 1 : 2$. Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $MNB$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: установить равенство всех боковых рёбер через теорему Пифагора, а затем применить метод объёмов для нахождения расстояния.

**а) Доказательство правильности пирамиды**

Применим теорему Пифагора к треугольникам $ADB$ и $BDC$:

$$AB^2 = DB^2 + AD^2$$

$$BC^2 = DB^2 + DC^2$$

Так как $AB = BC$, получаем $AD = DC$.

Применим теорему Пифагора к треугольникам $ADC$ и $BDC$:

$$AC^2 = AD^2 + DC^2$$

$$BC^2 = DB^2 + DC^2$$

Поскольку $AC = BC$ и $AD = DC$, имеем $DB^2 = AD^2$, откуда $DB = AD = DC$.

Таким образом, все боковые рёбра равны. Основание $ABC$ — равносторонний треугольник (по условию). Следовательно, пирамида правильная. ✓

**б) Расстояние от $D$ до плоскости $MNB$**

Из условия $DM : MA = DN : NC = 1 : 2$ следует, что $MN \parallel AC$.

Треугольники $DMN$ и $DAC$ подобны (угол $D$ общий, соответственные углы равны), с коэффициентом подобия:

$$\frac{DM}{AD} = \frac{DN}{DC} = \frac{MN}{AC} = \frac{1}{3}$$

Найдём длину боковых рёбер. Из $AC = 6\sqrt{2}$ и $AC^2 = AD^2 + DC^2 = 2 \cdot AD^2$ получаем:

$$AD = DB = DC = 6$$

Вычислим объём пирамиды $ABCD$. Центр основания $O$ находится на расстоянии $OC = \frac{AC}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{6}$ от вершины $C$.

По теореме Пифагора в треугольнике $DOC$:

$$DO = \sqrt{DC^2 - OC^2} = \sqrt{36 - 24} = 2\sqrt{3}$$

Площадь основания:

$$S_{ABC} = \frac{(6\sqrt{2})^2 \sqrt{3}}{4} = 18\sqrt{3}$$

Объём пирамиды:

$$V_{ABCD} = \frac{1}{3} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 18\sqrt{3} = 36$$

Из подобия треугольников $DMN$ и $DAC$ с коэффициентом $\frac{1}{3}$:

$$\frac{S_{DMN}}{S_{DAC}} = \frac{1}{9}$$

Объём пирамиды $DMNB$ (с вершиной $D$ и основанием $MNB$):

$$V_{DMNB} = \frac{1}{9} \cdot V_{DABC} = 4$$

Найдём стороны треугольника $MNB$. Имеем $DM = 2$, $DN = 2$, $MN = 2\sqrt{2}$.

По теореме Пифагора в треугольнике $MDB$:

$$MB = \sqrt{DB^2 + DM^2} = \sqrt{36 + 4} = 2\sqrt{10}$$

Аналогично, $NB = 2\sqrt{10}$.

Треугольник $MNB$ равнобедренный. Высота из $B$ на $MN$ равна:

$$h_{MN} = \sqrt{MB^2 - \left(\frac{MN}{2}\right)^2} = \sqrt{40 - 2} = \sqrt{38}$$

Площадь треугольника $MNB$:

$$S_{MNB} = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot h_{MN} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{38} = 2\sqrt{19}$$

Расстояние от $D$ до плоскости $MNB$:

$$d = \frac{3V_{DMNB}}{S_{MNB}} = \frac{3 \cdot 4}{2\sqrt{19}} = \frac{6\sqrt{19}}{19}$$

Задание №14СтереометрияЕГЭ по математике