Question

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей?

Accepted Answer

Answer

Идея решения: составить таблицу изменения долга по годам, найти сумму всех выплат через арифметическую прогрессию и приравнять к известному значению.

Обозначим исходные данные:
- $S = 5$ млн рублей (начальный долг);
- $r = 20\%$ (процентная ставка);
- $n$ — количество лет.

Поскольку в июле каждого года долг уменьшается на одну и ту же величину, ежегодное снижение составляет $\frac{S}{n}$.

Проследим динамику по годам:

| Год | Долг в начале июля | После начисления процентов | Выплата | Долг в конце июля |
|-----|-------------------|---------------------------|--------|------------------|
| 1 | $S$ | $S + \frac{Sr}{100}$ | $\frac{Sr}{100} + \frac{S}{n}$ | $S - \frac{S}{n}$ |
| 2 | $S - \frac{S}{n}$ | $\left(S - \frac{S}{n}\right) + \frac{(S - \frac{S}{n})r}{100}$ | $\frac{(S - \frac{S}{n})r}{100} + \frac{S}{n}$ | $S - 2\frac{S}{n}$ |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ |
| $n$ | $\frac{S}{n}$ | $\frac{S}{n} + \frac{S}{n} \cdot \frac{r}{100}$ | $\frac{S}{n} \cdot \frac{r}{100} + \frac{S}{n}$ | $0$ |

Выплаты образуют арифметическую прогрессию. Первая выплата:

$$a_1 = \frac{Sr}{100} + \frac{S}{n}$$

Последняя выплата:

$$a_n = \frac{S}{n} \cdot \frac{r}{100} + \frac{S}{n}$$

Сумма всех выплат:

$$\sum_{i=1}^{n} a_i = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n}{2} \left( \frac{Sr}{100} + \frac{S}{n} + \frac{S}{n} \cdot \frac{r}{100} + \frac{S}{n} \right)$$

$$= \frac{n}{2} \left( \frac{Sr}{100} + \frac{S}{n} \left(1 + \frac{r}{100}\right) + \frac{S}{n} \right)$$

$$= \frac{n}{2} \left( \frac{Sr}{100} + \frac{2S}{n} + \frac{Sr}{100n} \right)$$

Упростим иначе. Заметим, что сумма выплат равна:

$$S + \frac{r}{100} \cdot \frac{S + \frac{S}{n}}{2} \cdot n$$

Подставим известные значения:

$$5 + \frac{20}{100} \cdot \frac{5 + \frac{5}{n}}{2} \cdot n = 7{,}5$$

$$5 + \frac{1}{5} \cdot \frac{5 + \frac{5}{n}}{2} \cdot n = 7{,}5$$

$$\frac{1}{5} \cdot \frac{5 + \frac{5}{n}}{2} \cdot n = 2{,}5$$

$$\frac{5 + \frac{5}{n}}{2} \cdot n = 12{,}5$$

$$\left(5 + \frac{5}{n}\right) \cdot n = 25$$

$$5n + 5 = 25$$

$$5n = 20$$

$$n = 4$$

Задание №16Финансовая математика и оптимизацияЕГЭ по математике