Question

Найдите точку максимума функции $y = (2x - 3) \cdot \cos x - 2\sin x + 2$ на промежутке $(0; 2\pi)$.

Accepted Answer

1,5

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, определить их характер по знакам производной и выбрать точку максимума. Вычислим производную функции, применяя правило произведения и таблицу производных: $$y' = 2 \cos x - (2x - 3) \sin x - 2 \cos x = -(2x - 3) \sin x$$ Приравняем производную к нулю: $$-(2x - 3) \sin x = 0$$ Это уравнение выполняется, когда: $$2x - 3 = 0 \quad ext{или} \quad \sin x = 0$$ Из первого условия получаем: $$x = 1{,}5$$ Из второго условия: $$x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ На промежутке $(0; 2\pi)$ это дает $x = \pi$ и $x = 2\pi$ (граница не входит в открытый интервал). Исследуем знак производной $y' = -(2x - 3) \sin x$ на интервалах: - $(0; 1{,}5)$: $2x - 3 < 0$ и $\sin x > 0$, поэтому $y' > 0$ (функция возрастает). - $(1{,}5; \pi)$: $2x - 3 > 0$ и $\sin x > 0$, поэтому $y' < 0$ (функция убывает). - $(\pi; 2\pi)$: $2x - 3 > 0$ и $\sin x < 0$, поэтому $y' > 0$ (функция возрастает). Производная меняет знак с положительного на отрицательный в точке $x = 1{,}5$, что указывает на локальный максимум.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике