Question

а) Решите уравнение $\cos 2x + \sqrt{3}\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + 1 = 0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить формулу приведения, выразить косинус двойного угла через косинус, привести к квадратному уравнению относительно косинуса и решить методом разложения на множители.

**а)**

Используя формулу приведения $\sin\left(\frac{\pi}{2} + xight) = \cos x$, преобразуем уравнение:

$$\cos 2x + \sqrt{3}\cos x + 1 = 0$$

Подставим $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:

$$2\cos^2 x - 1 + \sqrt{3}\cos x + 1 = 0$$

$$2\cos^2 x + \sqrt{3}\cos x = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$\cos x(2\cos x + \sqrt{3}) = 0$$

Отсюда получаем два случая:

$$\cos x = 0 \quad 	ext{или} \quad \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Из первого условия:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Из второго условия:

$$x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**б)**

Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}ight]$, используя тригонометрическую окружность.

Для семейства $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$:
- При $k = -3$: $x = \frac{\pi}{2} - 3\pi = -\frac{5\pi}{2}$ (не входит в отрезок)
- При $k = -2$: $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$ (граница отрезка, входит)

Для семейства $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$:
- При $k = -2$: $x = \frac{5\pi}{6} - 4\pi = \frac{5\pi - 24\pi}{6} = -\frac{19\pi}{6}$ (не входит)
- При $k = -1$: $x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6}$ (не входит)

Для семейства $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$:
- При $k = -1$: $x = -\frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{17\pi}{6}$ (входит в отрезок)
- При $k = 0$: $x = -\frac{5\pi}{6}$ (не входит)

Задание №13УравненияЕГЭ по математике