Question

При сближении источника и приемника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приемником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_0 = 170$ Гц и определяется следующим выражением:

$$f = f_0 \frac{c + u}{c - v} 	ext{ Гц,}$$

где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 12$ м/с, $v = 6$ м/с — скорости приемника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приемнике $f$ будет не менее 180 Гц?

Accepted Answer

312

Answer

Идея решения: составить неравенство для частоты и найти максимальное значение скорости распространения сигнала.

Требуется найти максимальное значение $c$, при котором выполняется условие $f \geq 180$.

Подставим исходные данные в формулу:

$$170 \cdot \frac{c + 12}{c - 6} \geq 180$$

Разделим обе части на 170:

$$\frac{c + 12}{c - 6} \geq \frac{180}{170} = \frac{18}{17}$$

Перенесём всё в левую часть:

$$\frac{c + 12}{c - 6} - \frac{18}{17} \geq 0$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{17(c + 12) - 18(c - 6)}{17(c - 6)} \geq 0$$

Раскроем скобки в числителе:

$$\frac{17c + 204 - 18c + 108}{17(c - 6)} \geq 0$$

$$\frac{-c + 312}{17(c - 6)} \geq 0$$

$$\frac{312 - c}{17(c - 6)} \geq 0$$

Дробь неотрицательна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковый знак. Знаменатель положителен при $c > 6$. Числитель неотрицателен при $c \leq 312$.

Таким образом, решение неравенства: $6 < c \leq 312$.

Максимальное значение скорости распространения сигнала равно 312 м/с.

Задание №9Числа, выражения и тождественные преобразованияЕГЭ по математике