Question

В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC = 120°$, $\angle BCA = 15°$.

а) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.

б) Найдите $A_1H$, если $BC = 4\sqrt{3}$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: четырёхугольник $A_1B_1C_1H$ образует равнобедренную трапецию, около которой можно описать окружность.

**а) Доказательство**

Поскольку $B_1C_1$ — средняя линия треугольника $ABC$, имеем $B_1C_1 \parallel BC$. Следовательно, $B_1C_1 \parallel A_1H$.

Так как $A_1B_1$ — средняя линия, то:
$$A_1B_1 = \frac{1}{2}AB$$

В прямоугольном треугольнике $ABH$ (прямой угол при $H$) медиана $HC_1$, проведённая к гипотенузе $AB$, равна половине гипотенузы:
$$HC_1 = \frac{1}{2}AB$$

Таким образом, $A_1B_1 = HC_1$. Четырёхугольник $A_1B_1C_1H$ имеет одну пару параллельных сторон ($B_1C_1 \parallel A_1H$) и равные боковые стороны ($A_1B_1 = HC_1$), то есть является равнобедренной трапецией. Вокруг равнобедренной трапеции всегда можно описать окружность, что и требовалось доказать.

**б) Нахождение $A_1H$**

Из свойства средней линии:
$$B_1C_1 = \frac{BC}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$$

Треугольник $A_1B_1C_1$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом $\frac{1}{2}$, поэтому $\angle B_1A_1C_1 = 120°$.

По теореме синусов для треугольника $A_1B_1C_1$:
$$\frac{B_1C_1}{\sin \angle B_1A_1C_1} = 2R$$

где $R$ — радиус окружности, описанной около четырёхугольника $A_1B_1C_1H$.

$$2R = \frac{2\sqrt{3}}{\sin 120°} = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4$$

В треугольнике $A_1C_1H$ найдём угол $\angle A_1C_1H$. Заметим, что $\angle HA_1C_1 = 15°$ (так как $\angle BCA = 15°$ и $A_1$ лежит на $BC$), а $\angle A_1HC_1 = 135°$ (как угол, дополняющий угол в прямоугольном треугольнике $ABH$).

Тогда:
$$\angle A_1C_1H = 180° - 15° - 135° = 30°$$

По теореме синусов в треугольнике $A_1C_1H$:
$$\frac{A_1H}{\sin \angle A_1C_1H} = 2R$$

$$A_1H = 2R \cdot \sin 30° = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/uqr0s6hqG45RjNAcuM1qwtB0hlhZlMC6emx9R5Nv.jpg)

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике