Question

а) Решите уравнение $9 \cdot 81^{\cos x} - 28 \cdot 9^{\cos x} + 3 = 0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить замену переменной для сведения показательного уравнения к квадратному. **а) Решение уравнения** Заметим, что $81 = 9^2$, поэтому $81^{\cos x} = (9^2)^{\cos x} = 9^{2\cos x}$. Введём замену $t = 9^{\cos x}$, где $t > 0$. Тогда $9^{2\cos x} = t^2$. Уравнение принимает вид: $$9t^2 - 28t + 3 = 0$$ Решаем квадратное уравнение: $$t = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 108}}{18} = \frac{28 \pm \sqrt{676}}{18} = \frac{28 \pm 26}{18}$$ Получаем два корня: $$t_1 = \frac{28 + 26}{18} = \frac{54}{18} = 3, \quad t_2 = \frac{28 - 26}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$$ **Случай 1:** $9^{\cos x} = 3$ $$3^{2\cos x} = 3^1$$ $$2\cos x = 1$$ $$\cos x = \frac{1}{2}$$ $$x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ **Случай 2:** $9^{\cos x} = \frac{1}{9}$ $$9^{\cos x} = 9^{-1}$$ $$\cos x = -1$$ $$x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ **б) Отбор корней на отрезке** Рассмотрим отрезок $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$. Из семейства $x = \pi + 2\pi n$: - При $n = 1$: $x = 3\pi \in \left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$ ✓ Из семейства $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$: - При $n = 2$: $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3} \approx 4{,}33\pi > 4\pi$ ✗ - При $n = 1$: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} < \frac{5\pi}{2}$ ✗ Из семейства $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$: - При $n = 2$: $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3} \in \left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$ ✓ (Проверка: $\frac{5\pi}{2} = \frac{7{,}5\pi}{3}$, $\frac{11\pi}{3} \approx 3{,}67\pi$, $4\pi = \frac{12\pi}{3}$, поэтому $\frac{7{,}5\pi}{3} < \frac{11\pi}{3} < \frac{12\pi}{3}$.)

Задание №13УравненияЕГЭ по математике