Question

Решите неравенство:

$$\log_{5}\left((3-x)(x^{2}+2)\right) \geq \log_{5}(x^{2}-7x+12) + \log_{5}(5-x)$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: найти область допустимых значений, свести неравенство логарифмов к алгебраическому, разложить на множители и применить метод интервалов. **Область допустимых значений:** Требуется выполнение трёх условий: $$\begin{cases} (3-x)(x^{2}+2) > 0 \ x^{2}-7x+12 > 0 \ 5-x > 0 \end{cases}$$ Поскольку $x^{2}+2 > 0$ для всех $x$, первое условие сводится к $3-x > 0$, то есть $x < 3$. Разложим квадратный трёхчлен: $x^{2}-7x+12 = (x-3)(x-4)$. Второе условие даёт $(x-3)(x-4) > 0$, откуда $x < 3$ или $x > 4$. Третье условие: $x < 5$. Пересечение всех трёх: $x < 3$ и ($x < 3$ или $x > 4$) и $x < 5$ даёт $x < 3$. Таким образом, $x \in (-\infty; 3)$. **Решение неравенства:** Применим свойство логарифма суммы показателей: $$\log_{5}((3-x)(x^{2}+2)) \geq \log_{5}((x-3)(x-4)(5-x))$$ Так как основание логарифма больше 1, функция возрастает, поэтому: $$(3-x)(x^{2}+2) \geq (x-3)(x-4)(5-x)$$ Заметим, что $3-x = -(x-3)$. Подставим: $$-(x-3)(x^{2}+2) \geq (x-3)(x-4)(5-x)$$ Перенесём всё в левую часть: $$-(x-3)(x^{2}+2) - (x-3)(x-4)(5-x) \geq 0$$ Умножим на $-1$ (знак неравенства меняется): $$(x-3)(x^{2}+2) + (x-3)(x-4)(5-x) \leq 0$$ Вынесем общий множитель: $$(x-3)\left((x^{2}+2) + (x-4)(5-x) ight) \leq 0$$ Раскроем скобки во втором множителе: $$(x-4)(5-x) = 5x - x^{2} - 20 + 4x = -x^{2} + 9x - 20$$ Получаем: $$(x-3)(x^{2} + 2 - x^{2} + 9x - 20) \leq 0$$ $$(x-3)(9x - 18) \leq 0$$ $$9(x-3)(x-2) \leq 0$$ $$(x-3)(x-2) \leq 0$$ Решение этого неравенства: $x \in [2; 3]$. **Учёт ОДЗ:** Пересечение $[2; 3]$ с $(-\infty; 3)$ даёт $[2; 3)$ (точка $x = 3$ не входит в ОДЗ).

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике