Question

Найдите величину угла $\angle ACO$, если его сторона $CA$ касается окружности с центром $O$, отрезок $CO$ пересекает окружность в точке $B$ (см. рисунок), а дуга $AB$ окружности, заключённая внутри этого угла, равна $66°$. Ответ дайте в градусах.

![Окружность с центром O, касательная CA и хордой AB](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/E0i8PrErMTJA61M5mbftbnGm4wDM7b7bkIafrU1L.jpg)

Accepted Answer

24

Answer

Идея решения: использовать свойство касательной, перпендикулярной радиусу, и связь между центральным углом и дугой.

Поскольку дуга $AB$ равна $66°$, центральный угол, опирающийся на эту дугу, составляет:

$$\angle AOB = 66°$$

Так как прямая $CA$ касается окружности в точке $A$, радиус $OA$ перпендикулярен касательной:

$$OA \perp CA$$

Следовательно, в треугольнике $AOC$ угол при вершине $A$ равен $90°$. Поскольку точки $A$, $O$, $B$ и $C$ расположены так, что $\angle AOB = 66°$, а $O$, $B$, $C$ лежат на одной прямой, угол $\angle AOC$ равен:

$$\angle AOC = 180° - 66° = 114°$$

В треугольнике $AOC$ сумма углов равна $180°$:

$$\angle ACO = 180° - 90° - 114° = -24°$$

Это указывает на пересчёт. Правильно: $\angle AOC = 90° + 66° = 156°$ неверно. Переосмыслим: угол $\angle ACO$ в прямоугольном треугольнике $AOC$ (где $\angle OAC = 90°$) находится как:

$$\angle ACO = 90° - \angle AOC$$

где $\angle AOC = 90° + 66° = 156°$ — неверно. Корректно: $\angle AOC$ дополняет $\angle AOB$ до развёрнутого угла только если $B$ между $O$ и $C$. Тогда:

$$\angle ACO = 90° - 66° = 24°$$

Задание №1ПланиметрияЕГЭ по математике