Question

Решите неравенство:

$$\frac{x^3 - x^2 - x + 1}{9^{x^2} - 18 \cdot 3^{x^2} + 81} \leq 0$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: разложить числитель на множители, упростить знаменатель как полный квадрат, найти область определения и решить методом интервалов. **Область определения:** Знаменатель не равен нулю: $$9^{x^2} - 18 \cdot 3^{x^2} + 81 eq 0$$ Заметим, что это выражение можно переписать как: $$(3^{x^2} - 9)^2 eq 0$$ Следовательно: $$3^{x^2} eq 9$$ $$x^2 eq 2$$ $$x eq \pm\sqrt{2}$$ **Решение неравенства:** Так как знаменатель $(3^{x^2} - 9)^2$ всегда положителен (при $x eq \pm\sqrt{2}$), неравенство равносильно: $$x^3 - x^2 - x + 1 \leq 0$$ Разложим числитель на множители, группируя: $$x^2(x - 1) - (x - 1) \leq 0$$ $$(x^2 - 1)(x - 1) \leq 0$$ $$(x - 1)(x + 1)(x - 1) \leq 0$$ $$(x + 1)(x - 1)^2 \leq 0$$ Применим метод интервалов. Корни: $x = -1$ (кратность 1) и $x = 1$ (кратность 2). На числовой оси: - При $x < -1$: выражение отрицательно. - При $x = -1$: выражение равно нулю. - При $-1 < x < 1$: выражение положительно. - При $x = 1$: выражение равно нулю. - При $x > 1$: выражение положительно. Решение неравенства: $x \in (-\infty, -1]$. С учётом ограничения $x eq \pm\sqrt{2}$, поскольку $\sqrt{2} > 1$, точка $-\sqrt{2}$ не входит в интервал $(-\infty, -1]$, поэтому ограничение не влияет на ответ.

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике