Question

Вокруг конуса описана сфера, которая проходит через окружность основания конуса и его вершину. Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен $33\sqrt{2}$ . Найдите образующую конуса.

Рисунок

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/zRJNiFwpLATBUaVNnzwVSXUoHjDhkcV0j9rPR71z.jpg)

Accepted Answer

66

Answer

Идея решения: поскольку центр сферы расположен в центре основания конуса, радиус основания конуса равен его высоте, что позволяет применить теорему Пифагора.

Обозначим радиус основания конуса через $r$, высоту через $h$, образующую через $l$, а радиус сферы через $R = 33\sqrt{2}$.

Так как центр сферы находится в центре основания конуса, окружность основания лежит на сфере. Это означает, что расстояние от центра сферы до любой точки окружности основания равно $R$. Следовательно:

$$r = R = 33\sqrt{2}$$

Вершина конуса также лежит на сфере, поэтому расстояние от центра сферы (находящегося в центре основания) до вершины равно $R$. Это расстояние — высота конуса:

$$h = R = 33\sqrt{2}$$

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом основания, высотой и образующей:

$$l^2 = r^2 + h^2 = (33\sqrt{2})^2 + (33\sqrt{2})^2 = 2 \cdot (33\sqrt{2})^2$$

$$l = 33\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 33 \cdot 2 = 66$$

Задание №3СтереометрияЕГЭ по математике