Question

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, стоимость которых составляет $t^2$ тыс. рублей в конце года $t$ (где $t = 1, 2, \ldots$). В конце любого года фонд может продать бумаги и положить средства на банковский счёт. При этом в конце каждого следующего года сумма на счёте увеличивается в $1 + r$ раз. Фонд намерен продать бумаги в конце некоторого года так, чтобы к концу двадцать пятого года накопленная сумма была максимальной. Известно, что оптимальный момент продажи — конец двадцать первого года. Найти все положительные значения $r$, при которых это возможно.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: сравнить прибыль от удержания бумаг с прибылью от банковского счёта в соседних годах и составить систему неравенств. Обозначим через $x$ относительный прирост стоимости бумаг с года $t$ на год $t+1$: $$x = \frac{(t+1)^2 - t^2}{t^2} = \frac{2t + 1}{t^2}$$ Эту величину можно переписать как: $$x = \frac{2}{t} + \frac{1}{t^2}$$ На промежутке $t \in [1, 25]$ функция $f(t) = \frac{2}{t} + \frac{1}{t^2}$ монотонно убывает. Если продать бумаги в конце года $t$, то к концу года 25 получим сумму $t^2 \cdot (1+r)^{25-t}$ тыс. рублей. Для того чтобы продажа в конце 21-го года была оптимальной, необходимо: - продажа в конце 20-го года должна дать меньший результат; - продажа в конце 22-го года должна дать меньший результат. Первое условие: $$20^2 \cdot (1+r)^{25-20} < 21^2 \cdot (1+r)^{25-21}$$ $$400 \cdot (1+r)^5 < 441 \cdot (1+r)^4$$ $$400(1+r) < 441$$ $$1 + r < \frac{441}{400}$$ $$r < \frac{41}{400}$$ Второе условие: $$21^2 \cdot (1+r)^{25-21} > 22^2 \cdot (1+r)^{25-22}$$ $$441 \cdot (1+r)^4 > 484 \cdot (1+r)^3$$ $$441(1+r) > 484$$ $$1 + r > \frac{484}{441}$$ $$r > \frac{43}{441}$$ Объединяя оба условия: $$\frac{43}{441} < r < \frac{41}{400}$$

Задание №16Финансовая математика и оптимизацияЕГЭ по математике