Question

Найдите точку минимума функции $y = 9x - \ln(x-2)^9 - 8$.

Accepted Answer

3

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, затем определить характер экстремума методом интервалов. Вычислим производную: $$y' = 9 - 9 \cdot \frac{(x-2)^8}{(x-2)^9}$$ Приравняем к нулю: $$9 - 9 \cdot \frac{(x-2)^8}{(x-2)^9} = 0$$ Умножим обе части на $(x-2)^9$: $$9(x-2)^9 - 9(x-2)^8 = 0$$ Вынесем общий множитель: $$9(x-2)^8(x-2-1) = 0$$ $$9(x-2)^8(x-3) = 0$$ Отсюда получаем $x = 2$ (чётная степень) и $x = 3$. Исследуем знак производной на интервалах (см. диаграмму): - При $x < 2$: $y' < 0$ (функция убывает) - При $2 < x < 3$: $y' < 0$ (функция убывает) - При $x > 3$: $y' > 0$ (функция возрастает) Производная меняет знак с отрицательного на положительный только в точке $x = 3$, поэтому это точка минимума.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике