Question

Решите неравенство:

$$\log_{4}\left((x-5)(x^{2}-2x-15)\right)+1\geq 0{,}5\log_{2}(x-5)^{2}$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: разложить подлогарифмическое выражение, привести логарифмы к одному основанию и свести к алгебраическому неравенству.

**Область допустимых значений:**

Требуется $(x-5)(x^{2}-2x-15) > 0$ и $(x-5)^{2} > 0$.

Разложим квадратный трёхчлен: $x^{2}-2x-15 = (x-5)(x+3)$.

Тогда первое условие принимает вид:

$$(x-5)^{2}(x+3) > 0$$

Второе условие даёт $x 
eq 5$.

Объединяя оба требования, получаем:

$$x \in (-3; 5) \cup (5; +\infty)$$

**Преобразование неравенства:**

Перепишем исходное неравенство, используя разложение:

$$\log_{4}(x-5)^{2}(x+3) + 1 \geq 0{,}5\log_{2}(x-5)^{2}$$

Заметим, что $0{,}5\log_{2}(x-5)^{2} = \log_{2}(x-5)^{2})^{0{,}5} = \log_{2}|x-5|$. Однако удобнее перейти к основанию 4. Имеем:

$$0{,}5\log_{2}(x-5)^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\log_{4}(x-5)^{2}}{\log_{4}2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\log_{4}(x-5)^{2}}{0{,}5} = \log_{4}(x-5)^{2}$$

Перепишем неравенство:

$$\log_{4}(x-5)^{2}(x+3) + \log_{4}4 \geq \log_{4}(x-5)^{2}$$

$$\log_{4}(4(x-5)^{2}(x+3)) \geq \log_{4}(x-5)^{2}$$

Так как логарифм — возрастающая функция:

$$4(x-5)^{2}(x+3) \geq (x-5)^{2}$$

**Решение алгебраического неравенства:**

Перенесём всё в левую часть:

$$(x-5)^{2}(4(x+3) - 1) \geq 0$$

$$(x-5)^{2}(4x + 12 - 1) \geq 0$$

$$(x-5)^{2}(4x + 11) \geq 0$$

Множитель $(x-5)^{2} \geq 0$ для всех $x$, поэтому неравенство выполняется при $4x + 11 \geq 0$, то есть $x \geq -\frac{11}{4}$.

**Пересечение с ОДЗ:**

Решение алгебраического неравенства: $x \in [-\frac{11}{4}; +\infty)$.

Пересекаем с ОДЗ $(-3; 5) \cup (5; +\infty)$:

$$\left[-\frac{11}{4}; +\inftyight) \cap ((-3; 5) \cup (5; +\infty)) = \left[-\frac{11}{4}; 5ight) \cup (5; +\infty)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике