Question

Найдите все значения $a$, при которых уравнение
$$\left( 2x+\ln\left( x+2a \right) \right)^{2}=\left( 2x-\ln\left( x+2a \right) \right)^{2}$$
имеет единственное решение на отрезке $[0;1]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: разложить разность квадратов, найти оба корня в зависимости от $a$, а затем определить, при каких значениях параметра в отрезке $[0;1]$ остаётся ровно один из них. Перенесём всё в левую часть и применим формулу разности квадратов: $$\left( 2x+\ln\left( x+2a \right) \right)^{2}-\left( 2x-\ln\left( x+2a \right) \right)^{2}=0$$ $$\left(2x+\ln\left( x+2a \right)-2x+\ln\left( x+2a \right)\right)\left(2x+\ln\left( x+2a \right)+2x-\ln\left( x+2a \right)\right)=0$$ $$2\ln\left( x+2a \right) \cdot 4x=0$$ Отсюда получаем два случая: **Первый корень:** $x_1 = 0$ Для того чтобы $x_1 = 0$ был корнем исходного уравнения, необходимо $x + 2a > 0$ при $x = 0$: $$2a > 0 \Rightarrow a > 0$$ Таким образом, $x_1 = 0$ является корнем при $a \in (0; +\infty)$. **Второй корень:** $\ln(x + 2a) = 0$ $$x + 2a = 1$$ $$x_2 = 1 - 2a$$ Для того чтобы $x_2$ был корнем, требуется: - $x + 2a > 0$ (область определения логарифма): $1 - 2a + 2a > 0 \Rightarrow 1 > 0$ — выполнено всегда; - $0 \le 1 - 2a \le 1$ (принадлежность отрезку $[0;1]$): $$0 \le 1 - 2a \le 1$$ $$-1 \le -2a \le 0$$ $$0 \le 2a \le 1$$ $$0 \le a \le \frac{1}{2}$$ Таким образом, $x_2 = 1 - 2a$ является корнем при $a \in [0; \frac{1}{2}]$. **Анализ единственности корня на $[0;1]$:** - При $a > \frac{1}{2}$: корень $x_2$ не принадлежит отрезку, остаётся только $x_1 = 0$ — единственный корень. - При $0 < a < \frac{1}{2}$: оба корня принадлежат отрезку — два корня. - При $a = \frac{1}{2}$: корни совпадают: $x_1 = x_2 = 0 = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2}$ — единственный корень. - При $a \le 0$: корень $x_1 = 0$ не существует (нарушается условие $a > 0$), а $x_2$ может быть в отрезке только при $a = 0$, что даёт $x_2 = 1$ — единственный корень. Уравнение имеет единственное решение на $[0;1]$ при $a \in \{0\} \cup [\frac{1}{2}; +\infty)$.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике