Question

Решите неравенство:

$$\frac{1{,}5^{x}-3{,}375}{0{,}25^{x}-0{,}5^{x-3{,}5}+32}\leq0$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: найти область определения из условия ненулевости знаменателя, затем решить неравенство, используя монотонность показательной функции.

**Область определения:**

Знаменатель не равен нулю:

$$0{,}25^{x}-0{,}5^{x-3{,}5}+32
eq0$$

Преобразуем, выразив через степени $\frac{1}{2}$:

$$\left(\frac{1}{4}ight)^{x}-\left(\frac{1}{2}ight)^{x-\frac{7}{2}}+32
eq0$$

$$\left(\frac{1}{2}ight)^{2x}-\left(\frac{1}{2}ight)^{x}\cdot\left(\frac{1}{2}ight)^{-\frac{7}{2}}+32
eq0$$

$$\left(\frac{1}{2}ight)^{2x}-\left(\frac{1}{2}ight)^{x}\cdot 2^{\frac{7}{2}}+32
eq0$$

Заметим, что $2^{\frac{7}{2}} = 2 \cdot 2^{\frac{5}{2}} = 2\sqrt{32}$:

$$\left(\frac{1}{2}ight)^{2x}-2\sqrt{32}\cdot\left(\frac{1}{2}ight)^{x}+32
eq0$$

Это полный квадрат:

$$\left(\left(\frac{1}{2}ight)^{x}-\sqrt{32}ight)^{2}
eq0$$

$$\left(\frac{1}{2}ight)^{x}
eq\sqrt{32}$$

$$2^{-x}
eq 2^{\frac{5}{2}}$$

$$x
eq-\frac{5}{2}$$

**Решение неравенства:**

Поскольку знаменатель всегда положителен (как полный квадрат плюс 32), неравенство равносильно:

$$1{,}5^{x}-3{,}375\leq0$$

$$\left(\frac{3}{2}ight)^{x}\leq\frac{27}{8}$$

$$\left(\frac{3}{2}ight)^{x}\leq\left(\frac{3}{2}ight)^{3}$$

Функция $\left(\frac{3}{2}ight)^{x}$ возрастает, поэтому:

$$x\leq3$$

**Учёт ограничения:**

Исключаем $x = -\frac{5}{2}$ из решения $x \leq 3$.

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике