Question

Решите неравенство:

$$\left( \log_{0{,}2}^{2}(x+2)-\log_{5}\left( x^{2}+4x+4 \right)+1 \right)\cdot\log_{5}\left( x+1 \right)\leq0$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: преобразовать логарифмы к одному основанию, свернуть квадратный трёхчлен в полный квадрат и разобраться с произведением, учитывая неотрицательность одного из множителей.

Найдём область допустимых значений:

$$\begin{cases}
x+2>0 \
x^{2}+4x+4>0 \
x+1>0
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x>-2 \
(x+2)^{2}>0 \
x>-1
\end{cases}
\Rightarrow x \in (-1;+\infty)$$

Заметим, что $x^{2}+4x+4 = (x+2)^{2}$. Переведём логарифм по основанию $0{,}2$ в основание $5$:

$$\log_{0{,}2}(x+2) = \frac{\log_{5}(x+2)}{\log_{5}0{,}2} = \frac{\log_{5}(x+2)}{-1} = -\log_{5}(x+2)$$

Тогда:

$$\log_{0{,}2}^{2}(x+2) = \log_{5}^{2}(x+2)$$

Исходное неравенство принимает вид:

$$\left( \log_{5}^{2}(x+2)-\log_{5}(x+2)^{2}+1 ight)\cdot\log_{5}\left( x+1 ight)\leq0$$

Применим свойство логарифма степени:

$$\left( \log_{5}^{2}(x+2)-2\log_{5}(x+2)+1 ight)\cdot\log_{5}\left( x+1 ight)\leq0$$

Выражение в скобках — это полный квадрат:

$$\left( \log_{5}(x+2)-1 ight)^{2}\cdot\log_{5}\left( x+1 ight)\leq0$$

Поскольку $\left( \log_{5}(x+2)-1 ight)^{2} \geq 0$ всегда, произведение неположительно в двух случаях:

**Случай 1:** $\log_{5}\left( x+1 ight)\leq0$

$$\log_{5}\left( x+1 ight)\leq\log_{5}1$$

$$x+1\leq1$$

$$x\leq0$$

С учётом ОДЗ получаем $x \in (-1;0]$.

**Случай 2:** $\log_{5}(x+2)-1=0$

$$\log_{5}(x+2)=\log_{5}5$$

$$x+2=5$$

$$x=3$$

Проверим, что $x=3$ входит в ОДЗ: $3 > -1$ ✓

Объединяя оба случая:

$$x \in (-1;0] \cup \{3\}$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике