Question

Решите неравенство:

$$\log_{11}(8x^2 + 7) - \log_{11}(x^2 + x + 1) \geq \log_{11}\left(\frac{x}{x+5} + 7\right)$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить свойства логарифмов, найти область допустимых значений, привести неравенство к рациональному виду и решить методом интервалов.

**Область допустимых значений:**

Требуется выполнение трёх условий:

$$8x^2 + 7 > 0$$

$$x^2 + x + 1 > 0$$

$$\frac{x}{x+5} + 7 > 0$$

Первые два условия выполнены для всех $x \in \mathbb{R}$ (дискриминанты отрицательны). Для третьего:

$$\frac{x + 7(x+5)}{x+5} > 0$$

$$\frac{8x + 35}{x+5} > 0$$

Решая методом интервалов, получаем:

$$x \in (-\infty; -5) \cup \left(-\frac{35}{8}; +\infty\right)$$

**Решение неравенства:**

Упростим правую часть:

$$\frac{x}{x+5} + 7 = \frac{8x + 35}{x+5}$$

Неравенство принимает вид:

$$\log_{11}\left(\frac{8x^2 + 7}{x^2 + x + 1}\right) \geq \log_{11}\left(\frac{8x + 35}{x+5}\right)$$

Поскольку основание логарифма больше единицы, переходим к неравенству для аргументов:

$$\frac{8x^2 + 7}{x^2 + x + 1} \geq \frac{8x + 35}{x+5}$$

Перенесём в левую часть:

$$\frac{8x^2 + 7}{x^2 + x + 1} - \frac{8x + 35}{x+5} \geq 0$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{(8x^2 + 7)(x+5) - (x^2 + x + 1)(8x + 35)}{(x^2 + x + 1)(x+5)} \geq 0$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(8x^2 + 7)(x+5) = 8x^3 + 40x^2 + 7x + 35$$

$$(x^2 + x + 1)(8x + 35) = 8x^3 + 35x^2 + 8x^2 + 35x + 8x + 35 = 8x^3 + 43x^2 + 43x + 35$$

Числитель:

$$8x^3 + 40x^2 + 7x + 35 - 8x^3 - 43x^2 - 43x - 35 = -3x^2 - 36x = -3x(x + 12)$$

Неравенство:

$$\frac{-3x(x + 12)}{(x^2 + x + 1)(x+5)} \geq 0$$

$$\frac{x(x + 12)}{(x^2 + x + 1)(x+5)} \leq 0$$

Знаменатель $x^2 + x + 1 > 0$ для всех $x$. Нули числителя: $x = 0$ и $x = -12$. Нуль знаменателя: $x = -5$.

По методу интервалов:

$$x \in (-\infty; -12] \cup (-5; 0]$$

Пересекаем с областью допустимых значений:

$$x \in (-\infty; -12] \cup \left(-\frac{35}{8}; 0\right]$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике