Question

а) Решите уравнение $\sqrt{2}\cos^3 x - \sqrt{2}\cos x + \sin^2 x = 0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: заменить $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x$, вынести общий множитель и разложить на множители.

**а)** Используя основное тригонометрическое тождество, заменим $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:

$$\sqrt{2}\cos^3 x - \sqrt{2}\cos x + 1 - \cos^2 x = 0$$

Перегруппируем слагаемые:

$$\sqrt{2}\cos x(\cos^2 x - 1) - (\cos^2 x - 1) = 0$$

Вынесем общий множитель $(\cos^2 x - 1)$:

$$(\cos^2 x - 1)(\sqrt{2}\cos x - 1) = 0$$

Получаем два случая:

$$\cos^2 x - 1 = 0 \quad 	ext{или} \quad \sqrt{2}\cos x - 1 = 0$$

Из первого уравнения: $\cos^2 x = 1$, откуда $\cos x = \pm 1$.

Из второго уравнения: $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решаем каждое:

$$\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

$$\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

$$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**б)** Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\piight]$, используя тригонометрическую окружность.

Для $x = 2\pi k$: при $k = 2$ получаем $x = 4\pi$.

Для $x = \pi + 2\pi k$: при $k = 1$ получаем $x = 3\pi$.

Для $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$: при $k = 2$ получаем $x = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4}$ (не входит в отрезок).

Для $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$: при $k = 2$ получаем $x = -\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{15\pi}{4}$.

Проверим принадлежность отрезку $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\piight] = \left[\frac{10\pi}{4}; \frac{16\pi}{4}ight]$:

- $3\pi = \frac{12\pi}{4}$ — входит;
- $\frac{15\pi}{4}$ — входит;
- $4\pi = \frac{16\pi}{4}$ — входит.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике