Question

Для определения эффективной температуры звёзд применяют закон Стефана-Больцмана, согласно которому мощность излучения $P$ (в ваттах) нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвёртой степени температуры:

$$P = \delta S T^4$$

где $\delta = 5{,}7 \cdot 10^{-8}$ — постоянная, площадь поверхности $S$ измеряется в квадратных метрах, а температура $T$ — в градусах Кельвина.

Известно, что некоторая звезда имеет площадь поверхности $S = \frac{1}{25} \cdot 10^{20}$ м², а излучаемая ею мощность $P$ равна $1{,}425 \cdot 10^{26}$ Вт. Определите температуру этой звезды. Дайте ответ в градусах Кельвина.

Accepted Answer

5000

Answer

Идея решения: подставить известные значения в формулу закона Стефана-Больцмана и решить уравнение относительно температуры.

Подставим в формулу $P = \delta S T^4$ известные величины:

$$5{,}7 \cdot 10^{-8} \cdot \frac{1}{25} \cdot 10^{20} \cdot T^4 = 1{,}425 \cdot 10^{26}$$

Упростим левую часть:

$$5{,}7 \cdot 10^{-8} \cdot \frac{1}{25} \cdot 10^{20} = \frac{5{,}7}{25} \cdot 10^{12} = 0{,}228 \cdot 10^{12} = 2{,}28 \cdot 10^{11}$$

Получаем уравнение:

$$2{,}28 \cdot 10^{11} \cdot T^4 = 1{,}425 \cdot 10^{26}$$

Разделим обе части на $2{,}28 \cdot 10^{11}$:

$$T^4 = \frac{1{,}425 \cdot 10^{26}}{2{,}28 \cdot 10^{11}} = \frac{1{,}425}{2{,}28} \cdot 10^{15}$$

Вычислим дробь:

$$\frac{1{,}425}{2{,}28} = \frac{1425}{2280} = \frac{625}{1000} = 0{,}625 = \frac{5}{8}$$

Следовательно:

$$T^4 = \frac{5}{8} \cdot 10^{15} = 0{,}625 \cdot 10^{15} = 6{,}25 \cdot 10^{14}$$

Заметим, что $6{,}25 = \frac{625}{100} = \frac{5^4}{10^2}$, поэтому:

$$T^4 = \frac{5^4}{10^2} \cdot 10^{14} = 5^4 \cdot 10^{12} = (5 \cdot 10^3)^4 = 5000^4$$

Извлекая четвёртый корень:

$$T = 5000$$

Задание №9Числа, выражения и тождественные преобразованияЕГЭ по математике