Question

Дан остроугольный треугольник $ABC$. Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Вокруг треугольника $AOC$ описана окружность, которая пересекает сторону $BC$ в точке $P$.

а) Докажите, что треугольники $ABC$ и $PAC$ подобны.

б) Найдите $AB$, если $BC = 6$ и $AC = 4$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: используем свойства центральных и вписанных углов, а также подобие треугольников для нахождения искомой стороны.

**а) Доказательство подобия**

Обозначим $\angle CAB = 2\alpha$, тогда $\angle CBA = \alpha$.

Поскольку $\angle COA$ — центральный угол, а $\angle CBA$ — вписанный угол, опирающиеся на одну дугу $CA$ окружности с центром $O$, имеем:

$$\angle COA = 2\angle CBA = 2\alpha$$

Углы $\angle COA$ и $\angle CPA$ опираются на одну дугу окружности, описанной вокруг треугольника $AOC$, поэтому:

$$\angle CPA = \angle COA = 2\alpha$$

Таким образом, треугольники $ABC$ и $PAC$ подобны по двум углам:
- угол $C$ — общий;
- $\angle CPA = 2\alpha = \angle CAB$.

**б) Нахождение AB**

Из подобия треугольников $ABC$ и $PAC$ следует пропорциональность сторон:

$$\frac{BC}{AC} = \frac{AC}{PC}$$

Найдём $PC$:

$$PC = \frac{AC^2}{BC} = \frac{4^2}{6} = \frac{8}{3}$$

Из подобия также получаем $\angle PAC = \angle CBA = \alpha$, что означает: $AP$ — биссектриса угла $\angle BAC$.

По свойству биссектрисы:

$$\frac{AB}{PB} = \frac{AC}{CP}$$

Следовательно:

$$AB = \frac{PB \cdot AC}{CP} = \frac{(BC - PC) \cdot AC}{CP} = \frac{\left(6 - \frac{8}{3}\right) \cdot 4}{\frac{8}{3}} = \frac{\frac{10}{3} \cdot 4}{\frac{8}{3}} = \frac{40}{8} = 5$$

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике