Question

Решите неравенство:

$$\log_{5}\left( \frac{2}{x}+2 \right)-\log_{5}(x+3)\leq\log_{5}\left( \frac{x+6}{x^{2}} \right)$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: упростить левую часть через свойства логарифмов, перейти к рациональному неравенству и найти пересечение с областью допустимых значений. Преобразуем первый логарифм: $$\log_{5}\left( \frac{2}{x}+2 \right) = \log_{5}\left( \frac{2+2x}{x} \right)$$ Применим свойство разности логарифмов: $$\log_{5}\left( \frac{2+2x}{x} \right)-\log_{5}(x+3) = \log_{5}\left( \frac{2+2x}{x(x+3)} \right)$$ Исходное неравенство принимает вид: $$\log_{5}\left( \frac{2+2x}{x(x+3)} \right)\leq\log_{5}\left( \frac{x+6}{x^{2}} \right)$$ Поскольку основание $5 > 1$, функция логарифма возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется: $$\frac{2+2x}{x(x+3)}\leq\frac{x+6}{x^{2}}$$ Перенесём всё в левую часть: $$\frac{(2+2x)x-(x+6)(x+3)}{x^{2}(x+3)}\leq 0$$ Раскроем скобки в числителе: $$(2+2x)x = 2x+2x^{2}$$ $$(x+6)(x+3) = x^{2}+9x+18$$ $$2x+2x^{2}-x^{2}-9x-18 = x^{2}-7x-18$$ Разложим квадратный трёхчлен: $$x^{2}-7x-18 = (x+2)(x-9)$$ Неравенство принимает вид: $$\frac{(x+2)(x-9)}{x^{2}(x+3)}\leq 0$$ Найдём область допустимых значений. Требуется: $$\frac{2}{x}+2 > 0 \Rightarrow \frac{2+2x}{x} > 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$$ $$x+3 > 0 \Rightarrow x \in (-3; +\infty)$$ $$\frac{x+6}{x^{2}} > 0 \Rightarrow x \in (-6; 0) \cup (0; +\infty)$$ Пересечение условий: $$x \in [(-\infty; -1) \cup (0; +\infty)] \cap (-3; +\infty) \cap [(-6; 0) \cup (0; +\infty)]$$ $$x \in (-3; -1) \cup (0; +\infty)$$ Решим неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x = -2$, $x = 9$. Нули знаменателя: $x = 0$ (кратность 2), $x = -3$. На числовой оси расставим знаки: - При $x < -3$: $(-)(-) / (+)(-) = (+) / (-) = (-)$ - При $-3 < x < -2$: $(-)(-) / (+)(-) = (+) / (-) = (-)$ - При $-2 < x < 0$: $(+)(-) / (+)(-) = (-) / (-) = (+)$ - При $0 < x < 9$: $(+)(-) / (+)(+) = (-) / (+) = (-)$ - При $x > 9$: $(+)(+) / (+)(+) = (+) / (+) = (+)$ Неравенство $\leq 0$ выполняется при: $$x \in (-\infty; -3) \cup [-2; 0) \cup (0; 9]$$ Пересекаем с областью допустимых значений $x \in (-3; -1) \cup (0; +\infty)$: $$[(-\infty; -3) \cup [-2; 0) \cup (0; 9]] \cap [(-3; -1) \cup (0; +\infty)] = [-2; -1) \cup (0; 9]$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике