Question

Прямая, перпендикулярная стороне $AD$ ромба $ABCD$ , пересекает его диагональ $AC$ в точке $M$ , диагональ $BD$ в точке $N$ , причём $AM:MC = 1:2$ , $BN:ND = 1:3$ .

а) Докажите, что $\cos\angle BAD = \frac{1}{5}$ .

б) Найдите площадь ромба, если $MN = 5$ .

а) Докажите, что $\cos\angle BAD = \frac{1}{5}$.

б) Найдите площадь ромба, если $MN = 5$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: используем теорему Менелая для нахождения положения точки пересечения прямой со стороной, затем применяем подобие треугольников и формулу косинуса двойного угла.

**а) Доказательство**

Обозначим точку пересечения диагоналей ромба как $O$. Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам.

Из условия $AM:MC = 1:2$ получаем:
$$\frac{AM}{AO} = \frac{2}{3}, \quad \frac{AM}{MO} = \frac{2}{1}$$

Из условия $BN:ND = 1:3$ получаем:
$$\frac{BN}{BO} = \frac{1}{2}, \quad \frac{NO}{ND} = \frac{1}{3}$$

Пусть прямая $MN$ пересекает сторону $AD$ в точке $P$. Применим теорему Менелая к треугольнику $AOD$ и прямой $PMN$:

$$\frac{PD}{PA} \cdot \frac{AM}{MO} \cdot \frac{ON}{ND} = 1$$

$$\frac{PD}{PA} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{3} = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{PD}{PA} = \frac{3}{2}$$

Треугольники $APM$ и $AOD$ подобны по двум углам: $\angle PAM$ — общий, $\angle APM = \angle AOD = 90°$.

Из подобия:
$$\frac{AM}{AD} = \frac{AP}{AO}$$

Обозначим $AM = x$, тогда $AO = 1{,}5x$. Обозначим $AP = 2y$, тогда $AD = 5y$.

Подставляя в пропорцию:
$$\frac{x}{5y} = \frac{2y}{1{,}5x} \quad \Rightarrow \quad 1{,}5x^2 = 10y^2 \quad \Rightarrow \quad \frac{x^2}{y^2} = \frac{20}{3}$$

Следовательно:
$$\cos\angle OAD = \frac{AO}{AD} = \frac{1{,}5x}{5y} = \frac{3}{10} \cdot \sqrt{\frac{20}{3}} = \frac{\sqrt{60}}{10} = \frac{\sqrt{15}}{5}$$

Так как $\angle BAD = 2\angle OAD$, применяем формулу косинуса двойного угла:
$$\cos\angle BAD = 2\cos^2\angle OAD - 1 = 2 \cdot \frac{15}{25} - 1 = \frac{30}{25} - 1 = \frac{1}{5}$$

**б) Нахождение площади**

Треугольники $AMP$ и $MNO$ подобны по двум углам: $\angle AMP = \angle NMO$ (вертикальные), $\angle APM = \angle MON = 90°$.

Из подобия: $\angle MAP = \angle MNO$.

В треугольнике $MNO$:
$$\cos\angle MNO = \frac{ON}{MN} \quad \Rightarrow \quad ON = \cos\angle MNO \cdot MN = \frac{\sqrt{15}}{5} \cdot 5 = \sqrt{15}$$

Тогда:
$$BD = 4 \cdot ON = 4\sqrt{15}$$

Из основного тригонометрического тождества:
$$\sin^2\angle MNO = 1 - \cos^2\angle MNO = 1 - \frac{15}{25} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$$

Так как угол острый:
$$\sin\angle MNO = \sqrt{\frac{2}{5}}$$

В треугольнике $MNO$:
$$\sin\angle MNO = \frac{MO}{MN} \quad \Rightarrow \quad MO = \sin\angle MNO \cdot MN = \sqrt{\frac{2}{5}} \cdot 5 = \sqrt{10}$$

Тогда:
$$AM = 2\sqrt{10}, \quad AO = 3\sqrt{10} \quad \Rightarrow \quad AC = 6\sqrt{10}$$

Площадь ромба:
$$S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{10} \cdot 4\sqrt{15} = 12\sqrt{150} = 12 \cdot 5\sqrt{6} = 60\sqrt{6}$$

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике