Question

Вокруг конуса описана сфера, которая проходит через окружность основания конуса и его вершину. Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен $52\sqrt{2}$ . Найдите образующую конуса.

Рисунок

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/eyMkBvQuL3IMHUr8chBNkUQMcY3RedDEy3YLpByO.jpg)

Accepted Answer

104

Answer

Идея решения: поскольку центр сферы находится в центре основания конуса, две образующие, проведённые к диаметрально противоположным точкам основания, вместе с диаметром образуют равнобедренный прямоугольный треугольник.

Обозначим образующую конуса через $l$, а радиус сферы через $R = 52\sqrt{2}$.

Диаметр сферы равен:
$$d = 2R = 2 \cdot 52\sqrt{2} = 104\sqrt{2}$$

Две образующие конуса, проведённые к концам диаметра основания, и сам диаметр образуют треугольник. Поскольку центр сферы совпадает с центром основания, этот треугольник является равнобедренным прямоугольным, где две образующие — катеты, а диаметр — гипотенуза.

По теореме Пифагора:
$$d^2 = l^2 + l^2$$

$$d^2 = 2l^2$$

$$l = \sqrt{\frac{d^2}{2}} = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{104\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 104$$

Задание №3СтереометрияЕГЭ по математике