Question

Найдите наименьшее значение функции $y = x\sqrt{x} - 3x + 9$ на отрезке $[1; 10]$.

Accepted Answer

5

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, проверить их принадлежность отрезку и сравнить значения функции в критической точке и на границах.

Вычислим производную функции:

$$y' = \left(x^{\frac{3}{2}} - 3x + 9\right)' = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - 3$$

Приравняем производную к нулю:

$$\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - 3 = 0$$

$$x^{\frac{1}{2}} = 2$$

$$x = 4$$

Точка $x = 4$ лежит внутри отрезка $[1; 10]$ и является точкой минимума функции.

Вычислим значение функции в критической точке:

$$y(4) = 4\sqrt{4} - 3 \cdot 4 + 9 = 8 - 12 + 9 = 5$$

Проверим значения на границах отрезка:

$$y(1) = 1 \cdot \sqrt{1} - 3 \cdot 1 + 9 = 1 - 3 + 9 = 7$$

$$y(10) = 10\sqrt{10} - 3 \cdot 10 + 9 = 10\sqrt{10} - 21 \approx 31{,}6 - 21 = 10{,}6$$

Наименьшее значение равно 5.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике