Question

Найдите наименьшее значение функции $y = x^3 - x^2 - 8x + 4$ на промежутке $[1; 7]$.

Accepted Answer

-8

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, определить характер монотонности и вычислить значение функции в точке минимума.

Вычислим производную:

$$y' = 3x^2 - 2x - 8$$

Приравняем её к нулю:

$$3x^2 - 2x - 8 = 0$$

Решая квадратное уравнение, получаем $x = -\frac{4}{3}$ и $x = 2$.

На отрезке $[1; 7]$ лежит только точка $x = 2$.

Методом интервалов анализируем знак производной:
- при $x \in [1; 2)$: $y' < 0$ (функция убывает);
- при $x \in (2; 7]$: $y' > 0$ (функция возрастает).

Следовательно, $x = 2$ — точка локального минимума, и на данном промежутке наименьшее значение достигается именно в ней.

Вычислим:

$$y(2) = 2^3 - 2^2 - 8 \cdot 2 + 4 = 8 - 4 - 16 + 4 = -8$$

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике