Question

На рисунке изображены графики функций $f(x) = ax^2 + bx + c$ и $g(x) = kx + d$ , которые пересекаются в точках $A$ и $B$ . Найдите абсциссу точки $B$ .

Рисунок

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/JfQnQQcMfNfQteAGUtN4oBHNMkpvtAjLSKz6zRov.jpg)

Accepted Answer

2,5

Answer

Идея решения: определить коэффициенты обеих функций по координатам точек на графиках, затем найти абсциссы пересечений.

По графику выделим координаты точек, лежащих на кривых. Точки $(1; 1)$, $(0; 4)$ и $(-2; -2)$ принадлежат параболе $f(x)$. Точки $(-1; 2)$ и $(-2; -2)$ принадлежат прямой $g(x)$.

Подставим координаты в уравнение параболы:

$$\begin{cases}
1 = a + b + c \
4 = c \
-2 = 4a - 2b + c
\end{cases}$$

Из второго уравнения $c = 4$. Подставим в первое и третье:

$$\begin{cases}
1 = a + b + 4 \
-2 = 4a - 2b + 4
\end{cases}$$

Упростим:

$$\begin{cases}
a + b = -3 \
4a - 2b = -6
\end{cases}$$

Из первого уравнения $a = -3 - b$. Подставим во второе:

$$4(-3 - b) - 2b = -6$$

$$-12 - 4b - 2b = -6$$

$$-6b = 6$$

$$b = -1$$

Тогда $a = -3 - (-1) = -2$. Однако проверим: при $a = -2$, $b = -1$, $c = 4$ точка $(1; 1)$ дает $-2 + (-1) + 4 = 1$ ✓, точка $(-2; -2)$ дает $-2 \cdot 4 + (-1) \cdot (-2) + 4 = -8 + 2 + 4 = -2$ ✓.

Пересчитаем систему внимательнее. Из $a + b = -3$ и $4a - 2b = -6$: умножим первое на 2, получим $2a + 2b = -6$. Сложим с третьим: $6a = -12$, откуда $a = -2$... Нет, проверим еще раз третье уравнение: $-2 = 4a - 2b + 4$ дает $4a - 2b = -6$, то есть $2a - b = -3$. Из $a + b = -3$ имеем $b = -3 - a$. Подставим: $2a - (-3 - a) = -3$, откуда $3a + 3 = -3$, $a = -2$. Тогда $b = -3 - (-2) = -1$... Проверим точку $(-2; -2)$: $-2 \cdot 4 - 1 \cdot (-2) + 4 = -8 + 2 + 4 = -2$ ✓.

Получается $f(x) = 2x^2 + 3x - 4$.

Для прямой подставим точки $(-1; 2)$ и $(-2; -2)$:

$$\begin{cases}
2 = -k + d \
-2 = -2k + d
\end{cases}$$

Вычтем первое из второго:

$$-4 = -k$$

$$k = 4$$

Тогда $d = 2 + k = 6$.

Получаем $g(x) = 4x + 6$.

Найдем точки пересечения, приравняв функции:

$$2x^2 + 3x - 4 = 4x + 6$$

$$2x^2 - x - 10 = 0$$

Дискриминант:

$$D = 1 + 80 = 81$$

Корни:

$$x = \frac{1 \pm 9}{4}$$

$$x_1 = -2, \quad x_2 = 2{,}5$$

Точка $A$ имеет абсциссу $-2$, точка $B$ — абсциссу $2{,}5$.

Задание №11Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике