Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\left| x^{2}+a^{2}-6x+4a \right|=2x-2a$ имеет ровно два различных решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: раскрыть модуль по определению, свести каждый случай к уравнению окружности в плоскости $(x, a)$, найти пересечения с ограничением $a \leq x$ и определить значения $a$, дающие ровно два решения по $x$.

Из условия модуля требуется $2x - 2a \geq 0$, откуда $a \leq x$.

**Случай 1:** $x^{2}+a^{2}-6x+4a = 2x-2a$

Приведём к стандартному виду:

$$x^{2}-8x+a^{2}+6a = 0$$

Выделим полные квадраты:

$$x^{2}-8x+16+a^{2}+6a+9 = 25$$

$$(x-4)^{2}+(a+3)^{2} = 25$$

Это окружность с центром $(4, -3)$ и радиусом $5$.

**Случай 2:** $x^{2}+a^{2}-6x+4a = -(2x-2a)$

Приведём к стандартному виду:

$$x^{2}-4x+a^{2}+2a = 0$$

Выделим полные квадраты:

$$x^{2}-4x+4+a^{2}+2a+1 = 5$$

$$(x-2)^{2}+(a+1)^{2} = 5$$

Это окружность с центром $(2, -1)$ и радиусом $\sqrt{5}$.

Найдём пересечение второй окружности с прямой $a = x$:

$$(x-2)^{2}+(x+1)^{2} = 5$$

$$x^{2}-4x+4+x^{2}+2x+1 = 5$$

$$2x^{2}-2x = 0$$

$$x_{1} = 0, \quad x_{2} = 1$$

Соответственно, $a_{1} = 0$ и $a_{2} = 1$.

Для первой окружности найдём точки касания с прямой $a = x$. Расстояние от центра $(4, -3)$ до прямой $a = x$ (или $x - a = 0$) равно:

$$d = \frac{|4-(-3)|}{\sqrt{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{2} \approx 4{,}95$$

Поскольку $d > 5$, прямая не пересекает первую окружность.

Для второй окружности расстояние от центра $(2, -1)$ до прямой $a = x$ равно:

$$d = \frac{|2-(-1)|}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \approx 2{,}12$$

Поскольку $d < \sqrt{5} \approx 2{,}24$, прямая пересекает окружность в двух точках (что мы уже нашли).

Горизонтальные линии $a = 	ext{const}$ пересекают вторую окружность в двух точках при $-1-\sqrt{5} < a < -1+\sqrt{5}$, то есть при $-1-\sqrt{5} < a < -1+\sqrt{5}$.

Учитывая ограничение $a \leq x$, уравнение имеет ровно два решения при:

$$a = -1-\sqrt{5} \quad 	ext{или} \quad a = -1+\sqrt{5}$$

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике