Question

Решите неравенство:

$$\frac{27^{x}-9^{x+1}+3^{x+3}-27}{50x^{2}-110x+60{,}5}\geq0$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: преобразовать числитель через замену $t = 3^x$, получить куб разности, а знаменатель разложить как полный квадрат, затем найти область определения и решить неравенство.

**Область определения:**

Знаменатель не равен нулю:

$$50x^{2}-110x+60{,}5
eq0$$

Умножим на 2:

$$100x^{2}-220x+121
eq0$$

Заметим, что это полный квадрат:

$$(10x-11)^{2}
eq0$$

Следовательно, $x
eq\frac{11}{10}$.

**Анализ числителя:**

Преобразуем числитель, выразив все через степени тройки:

$$27^{x}-9^{x+1}+3^{x+3}-27 = 3^{3x}-9\cdot 3^{2x}+27\cdot 3^{x}-27$$

Введём замену $t = 3^{x}$ (где $t > 0$):

$$t^{3}-9t^{2}+27t-27$$

Это выражение представляет собой куб разности:

$$(t-3)^{3}$$

Вернёмся к исходной переменной:

$$(3^{x}-3)^{3}\geq0$$

Кубическая функция монотонна, поэтому:

$$3^{x}-3\geq0$$

$$3^{x}\geq3$$

$$x\geq1$$

**Учёт области определения:**

Решение $x\geq1$ исключает точку $x=\frac{11}{10}$, которая лежит в этом интервале.

Итоговое решение: $[1; \frac{11}{10}) \cup (\frac{11}{10}; +\infty)$.

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике