Question

Найдите наибольшее значение функции $y = 101x - 99\sin x + 63$ на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$.

Accepted Answer

63

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, установить монотонность функции и вычислить значение на границе отрезка.

Вычислим производную:

$$y' = 101 - 99\cos x$$

Приравняем её к нулю:

$$101 - 99\cos x = 0$$

$$\cos x = \frac{101}{99}$$

Поскольку $\frac{101}{99} > 1$, а область значений косинуса — это $[-1; 1]$, уравнение решений не имеет.

Так как производная $y' = 101 - 99\cos x$ всегда положительна (ведь $\cos x \leq 1$, откуда $-99\cos x \geq -99$, и $101 - 99\cos x \geq 101 - 99 = 2 > 0$), функция строго возрастает на всём отрезке.

Следовательно, максимум достигается в правой границе $x = 0$:

$$y(0) = 101 \cdot 0 - 99 \cdot \sin 0 + 63 = 63$$

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике