Question

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и банку будет выплачено 292820 рублей?

Accepted Answer

Answer

Идея решения: составить уравнение, отслеживая остаток долга после каждого цикла начисления процентов и выплаты, приравнять финальный остаток к нулю и найти сумму кредита.

Обозначим:
- $S$ — сумма кредита;
- $k = 1{,}1$ — коэффициент увеличения долга (соответствует 10% годовых);
- $x$ — размер каждого платежа.

Проследим изменение долга по годам:

**После 1-го года:** долг становится $Sk$, затем выплачивается $x$, остаток: $Sk - x$.

**После 2-го года:** долг становится $(Sk - x)k$, затем выплачивается $x$, остаток: $(Sk - x)k - x$.

**После 3-го года:** долг становится $((Sk - x)k - x)k$, затем выплачивается $x$, остаток: $((Sk - x)k - x)k - x$.

**После 4-го года:** долг становится $(((Sk - x)k - x)k - x)k$, затем выплачивается $x$, остаток: $(((Sk - x)k - x)k - x)k - x$.

Поскольку кредит полностью погашен, финальный остаток равен нулю:

$$(((Sk - x)k - x)k - x)k - x = 0$$

Сумма всех четырёх платежей составляет 292820 рублей:

$$4x = 292820$$

$$x = 73205$$

Раскроем скобки в уравнении погашения, подставив $k = 1{,}1 = \frac{11}{10}$:

$$(((Sk - x)k - x)k - x)k - x = 0$$

Последовательно раскрывая:

$$\left(\left(\left(\frac{11}{10}S - x\right)\frac{11}{10} - x\right)\frac{11}{10} - x\right)\frac{11}{10} - x = 0$$

$$\left(\left(\left(\frac{11}{10}\right)^2 S - \frac{11}{10}x - x\right)\frac{11}{10} - x\right)\frac{11}{10} - x = 0$$

$$\left(\left(\frac{11}{10}\right)^3 S - \left(\frac{11}{10}\right)^2 x - \frac{11}{10}x - x\right)\frac{11}{10} - x = 0$$

$$\left(\frac{11}{10}\right)^4 S - \left(\frac{11}{10}\right)^3 x - \left(\frac{11}{10}\right)^2 x - \frac{11}{10}x - x = 0$$

Умножим на 10000:

$$11^4 S - 11^3 \cdot 10 \cdot x - 11^2 \cdot 100 \cdot x - 11 \cdot 1000 \cdot x - 10000x = 0$$

$$14641S - 13310x - 12100x - 11000x - 10000x = 0$$

$$14641S - 46410x = 0$$

$$S = \frac{46410}{14641}x$$

Подставим $x = 73205$:

$$S = \frac{46410}{14641} \cdot 73205 = 232050$$

Задание №16Финансовая математика и оптимизацияЕГЭ по математике