Question

Найдите объём многогранника, вершинами которого служат точки $A$ , $A_1$ , $B_1$ , $D_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ , если $AB = 5$ , $AD = 10$ , $AA_1 = 9$ .

Рисунок

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/fuGt47xJWAdoalqTnWgK4h2wB6HkkfcTZgswQmcb.jpg)

Accepted Answer

75

Answer

Идея решения: многогранник $AA_1B_1D_1$ — пирамида с основанием $A_1B_1D_1$ и вершиной $A$; её объём вычисляется по формуле объёма пирамиды.

Рассмотрим пирамиду $AA_1B_1D_1$. Её основание — треугольник $A_1B_1D_1$, а высота — расстояние от точки $A$ до плоскости верхней грани параллелепипеда, равное $AA_1 = 9$.

Найдём площадь основания. Треугольник $A_1B_1D_1$ прямоугольный (так как $A_1B_1 \perp A_1D_1$ в параллелепипеде):

$$S_{	ext{осн}} = \frac{1}{2} \cdot A_1D_1 \cdot A_1B_1 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5 = 25$$

Объём пирамиды:

$$V = \frac{1}{3} \cdot S_{	ext{осн}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 25 \cdot 9 = 75$$

Задание №3СтереометрияЕГЭ по математике